拉格朗日插值 定义： 什么是插值？ 百度百科上这样写： 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 [1] 插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。
题目传送门 思路 因为两个青蛙同时跳到同一个点上才算碰面，设 $ t $ 为跳的次数， $ p $ 为两个青蛙跳的圈数之差，有如下式子： \[(x+m \times t ) - ( y+n \times t ) = p \times L \]整理得： \[(n-m) \times t + L \times p = x - y \]首先，要判断 $ \gcd ( n-m , L ) \nmid x-y $ 的
点 计算两个都不包含圆心的方案和一个不包含一个任意的方案。 包含圆心等价于凸包上两个相邻的点之间的距离 \(\le \dfrac{L}2\) 。枚举 \(1\sim n\) 中某个点并让其作为长度 \(>\frac{L}2\) 线段的端点。在线段上的点只能选另一个颜色，剩下的可以任选，得到点数之后可以快速幂 对于
题面传送门 一道感觉思路挺自然的题，不知道为什么赛时只有三个队过（？） 首先这题肯定严格强于有向图任意两点连通性对吧，所以此题 std 时间复杂度肯定不低于有向图任意两点连通性的复杂度，即 \(\dfrac{nm}{\omega}\)，而此题 \(5\times 10^4\) 的数据范围肯定 \(n^2\) 不可能过，因此 bitset
原根存在性定理的证明 定义模\(m\)意义下满足阶为\(\varphi(m)\)的元素为\(m\)的原根，求证\(m\in\N^+\)的原根存在，当且仅当\(m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}\)，其中\(P\)为素数集。显然，如果\(m\)的原根存在，那么\(m\)的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va
【模板】扩展欧几里得算法 void exgcd(int a, int b, int &g, int &x, int &y) { if (!b) x = 1, y = 0, g = a; else { exgcd(b, a % b, g, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; } } 如何理解 虽然不知道在推什么但是确实
1. 重要不等式 \(a^2+b^2\ge 2ab\) 2. 基本不等式 \(a\ge0,b\ge0,\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) 3. 均值不等式 \(\dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\) 当且仅当 \(a=b\) 时等号成立。 拓展： \(\text{调和均值：}H_{n}=\dfrac{
浅探 Catalan 数 Catalan 数是一种常见于数列OI的一种组合数。 几个基本模型： \(n\) 个 \(+1\) ， \(n\) 个 \(-1\) 构成一个序列，要求序列的任意前缀和非负。（好用的理解） 在平面直角坐标系 \(xOy\) 种，每次可以沿着 \(y\) 轴正半轴或 \(x\) 轴负半轴移动一格，不越过直线 \(y=x\) 的到达
导数 求导法则 基本初等函数求导 常函数：\(f(x)=c,f'(x)=0\)。 幂函数：\(f(x)=x^n,f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)。 三角函数：\(f(x)=\sin x,f'(x)=\cos x;f(x)=\cos x,f'(x)=-\sin x\)。 指数函数：\(f(x)=a^x,f'(x)=a^x\ln a\)。特殊地，\(f(x)=e^x,f'(x)=e^x\)。 对数函数：\
\[\Large y=ax^2+bx+c \]\[\Large y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}) \]\[\Large y=a(x^2+2\times x\times \dfrac b {2a}+\dfrac c a) \]\[\Large y=a[x^2+2x\dfrac b {2a}+(\dfrac b {2a})^2-(\dfrac b {2a})^2+\dfrac c a] \]\[\Large y=a[(x+
概念 数学期望（简称期望），是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映了随机变量平均取值的大小 一般来说，对于随机变量 \(X\) ，它有 \(n\) 中可能的取值，其中取到 \(x_i\) 的概率为 \(P(x_i)\) ,那么它的数学期望 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(x_i)\) 数学期望也可以用
老师发的画质糊得不行，用 \(\LaTeX\) 打一下可能会好一点。 \(\rm Day\ 1\)： 1. 已知单调递减正数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=\dfrac{1}{2}\)，当 \(n\le 2\) 时， \[a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_na_{n-1}(a_{n}a_{n-1}+a_n+1)=0 \] （1）求数列 \(\{a_n\}\) 的通项； （2）记
比赛地址 比赛情况 排名：221 / 23733 AC：4 / 6 题目总结 A 看一下有几个1，0个就0，4个就2，否则1 B \(d=2\) 显然最优。 于是从 1 到 \(n\) 判断，如果此数还未输出就输出它和它的2倍和它的2倍的2倍，直到大于 \(n\)，标记为出现过，然后遍历下一个数。 C 双指针 首先把每个人擅长的工作都交给它
圆锥曲线的切线方程及其性质 一、椭圆的切线方程 我们先求椭圆的割线方程。设有椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 。取椭圆上两点 (\(x_0\), \(y_0\))，(\(x_1\), \(y_1\))， 则过两点的割线方程可表示为 \[y - y_0 = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) = \dfr
洛谷题面传送门 肿么没有人证明复杂度，那我来证一个。 考虑分治，每次像猫树那样处理一个分治区间 \([l_x,r_x],[l_y,r_y]\) 表示当前处理 \(x_1,x_2\in[l_x,r_x]\)，\(y_1,y_2\in[l_y,r_y]\) 范围内的所有询问。处理当前层的询问是好办的，考虑令 \(mid=\lfloor\dfrac{l_x+r_x}{2}\rfloo
公式 1. 条件概率 \(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\) 证明： 显然有\(P(A|B)P(B)=P(AB)\),把\(P(B)\)除过去即可。 2. 全概率公式 设\(B_1,B_2,\cdots ,B_n\)是样本空间的一个划分，则： \(P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)\) 证明： \(P(A|B_i)P(B_i)\)实际上就是\(P(AB_i)\),可以考
洛谷题面 题目大意 在古埃及，人们使用单位分数的和（形如 \(\dfrac{1}{a}\) 的，\(a\) 是自然数）表示一切有理数。如：\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\)，但不允许 \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\)，因为加数中有相同的。对于一个分数 \(\dfrac{a}{b}\)，表示方
因为我不会 NTT 其实是因为任意模数多项式乘法太毒瘤，所以需要暴力（？ 目前仍属于口胡阶段，如果有时间我就写一份拿挑战多项式拍一下 . 很多地方省略了 \(\pmod{x^c}\)，\(c\) 是一个神奇的常数 . 目录非常 naive 的东西多项式加减 & 数乘多项式乘法 / 卷积多项式插值多项式多点求值多项
洛谷传送门 CF 传送门 思路 题意相当于将 \(S\) 表示成 \(A^kB\)（\(A^x = A^{x-1}A\)，\(A^0\) 为空串），其中 \(B\) 为 \(A\) 的前缀。 考虑枚举 \(|A^k|\)，设 \(|A^k| = len\ (k\ |\ len)\)，在 \([1,len]\) 中寻找长度为 \(\dfrac{len}{k}\) 的循环节。看到循环节就想到 KMP，预处理出 \(f
目录Pearson相关检验基本思想检验步骤第一步：提出原假设第二步：构造检验统计量第三步：计算伴随概率第四步：做出统计推断Spearman秩相关检验基本思想检验步骤第一步：提出原假设第二步：构造检验统计量第三步：计算伴随概率第四步：做出统计推断大样本近似检验Kendall \(\tau\)相关检验基本思想
目录完全随机区组设计Kruskal-Wallis秩和检验基本思想检验步骤第一步：提出原假设第二步：构造检验统计量第三步：计算伴随概率第四步：做出统计推断大样本近似检验Jonckheere-Terpstra检验基本思想检验步骤第一步：提出原假设第二步：构造检验统计量第三步：计算伴随概率第四步：做出统计推断大样
求 \(1-\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\) 的指数形式. \[\begin{aligned} 1-\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta&=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}+2\mathrm{i}\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}\\ &=2\sin\dfrac{\theta}{2}\left(\sin
莫比乌斯反演 坑是开了，补不补就另说了（（（ 1.数论分块 重要结论： 对于常数 \(n\)，满足\[\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=\lfloor \frac{n}{j}\rfloor \]成立的最大的满足 \(i \le j \le n\) 的 \(j\) 的 $\left\lfloor{\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }}\right\rfloor $ 。即块 \(\l
Description 给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，问所有满足 \(\forall i,P_i\le A_i\) 的 \(1\sim n\) 的排列的逆序数的和为多少 答案对 \(10^9+7\) 取模 Solution 设 \(c_i\) 是将 \(a_i\) 排序后的结果，\(b_i\) 是 \(a_i\) 排名，那么总合法排列数是 \(S=\prod\limits_{i=1}^nc_i-
正弦sine，对边与斜边的比值 余弦cosine，邻边与斜边的比值 正切tangent，对边与邻边的比值 cot，邻边与对边的比值 互余的角，比值余 \(30^\circ,45^\circ,60^\circ\)角的正弦余弦正切表： \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\) \(\sin A\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2
