圆锥曲线的切线方程及其性质
一、椭圆的切线方程
我们先求椭圆的割线方程。设有椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 。取椭圆上两点 (\(x_0\), \(y_0\))，(\(x_1\), \(y_1\))， 则过两点的割线方程可表示为
\[y - y_0 = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) = \dfrac{y_1^2 - y_0^2}{(x_1 - x_0)(y_1 + y_0)} (x - x_0) \]利用 \(y_0^2\) = \(b^2\) - \(\dfrac{b^2}{a^2}\) \(x_0^2\)， \(y_1^2\) = \(b^2\) - \(\dfrac{b^2}{a^2}\) \(x_1^2\)，我们可以化简得到
\[y - y_0 = -\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_1 + x_0}{y_1 + y_0} (x - x_0) \]令 \(y_1\) = \(y_0\) ， \(x_1\) = \(x_0\)， 即可得到椭圆的切线方程
\[y - y_0 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x - x_0) \]整理得
\[\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1 \]二、圆锥曲线的切线方程
经圆锥曲线上一点(\(x_0\), \(y_0\))的切线方程为
\[\text{椭圆 } \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1 \]\[\text{双曲线 } \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x_0 x}{a^2} - \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1 \]\[\text{抛物线 } y^2 = 2px \Rightarrow y_0 y = p(x + x_0) \]不难发现，对于圆锥曲线的切线方程，有以下代换规则
\[x_0 x \rightarrow x^2, y_0 y \rightarrow y^2 \]\[\dfrac{x_0 + x}{2} \rightarrow x，\dfrac{y_0 y}{2} \rightarrow y \]三、圆锥曲线的切线相关性质
- 双曲线的两条渐近线所夹的切线段被切点平分。
如图，P (\(x_0\), \(y_0\)) 为双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 上一点，与双曲线的渐近线 y = \(\pm\) \(\dfrac{b}{a}\)x 相交于 M, N 两点，则 P 为 MN 的中点。
证明如下:
过点 P 的切线方程为 \(\dfrac{x_0 x}{a^2} - \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\)，与双曲线的渐近线 y = \(\pm\) \(\dfrac{b}{a}\)x 相交于
\[M(\dfrac{a^2 b}{b x_0 - a y_0}, \dfrac{a b^2}{b x_0 - a y_0}), N(\dfrac{a^2 b}{b x_0 + a y_0}, \dfrac{a b^2}{b x_0 + a y_0}) \]易得 P(\(x_0\), \(y_0\)) 为线段 MN 的中点
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圆锥曲线的光学性质
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过椭圆上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的两条焦半径的夹角。
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过双曲线上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的两条焦半径的夹角的补角。
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过抛物线上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的焦半径与过该点且平行于对称轴的直线的夹角。
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以下给出性质 1 的证明。
欲证明两角相等，我们可以借助平面向量。
过椭圆上一点 P(\(x_0\)，\(y_0\)) 的切线方程为 \(\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\)
因此过该点的法线的方向向量 \(\vec{n} = (b^2 x_0, a^2 y_0)\)
又 \(\vec{F_1 P} = (x_0 + c, y)\), \(\vec{F_2 P} = (x_0 - c, y)\), 且 |\(\vec{F_1 P}\)| = a + e\(x_0\), |\(\vec{F_2 P}\)| = a - e\(x_0\)
所以
\[\cos <\vec{F_1 P}, \vec{n}> = \dfrac{(b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2) + b^2 c x_0}{\dfrac{a^2 + c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{(a^2 + c x_0) b^2}{\dfrac{a^2 + c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{a b^2}{|\vec{n}|} \]\[\cos <\vec{F_2 P}, \vec{n}> = \dfrac{(b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2) - b^2 c x_0}{\dfrac{a^2 - c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{(a^2 - c x_0) b^2}{\dfrac{a^2 - c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{a b^2}{|\vec{n}|} \]故 <\(\vec{F_1 P}, \vec{n}\)> = <\(\vec{F_2 P}, \vec{n}\)>
该性质揭示了椭圆的光学性质：从椭圆一焦点发出的光线其反射光线经过另一个焦点。
标签：方程,椭圆,切线,dfrac,vec,圆锥曲线 来源： https://www.cnblogs.com/sunirein/p/16455592.html
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