数论数学笔记 第一章：整数的可除性 整除的概念及欧几里得除法 整除定义 素数与合数的定义 不完全商和余数定义 最大公因数与广义欧几里得除法 最大公因数 最大公因数性质 整除的进一步性质及最小公倍数 最小公倍数 素数分解 素数定理 同余式 同余的概论和及基本性质
有理数 定义 两个整数之比 . 基本表示 有理数不就是两个整数之比嘛 . 于是我们整一个数表用来枚举两个整数，不就能表示所有有理数了嘛 . 大概就是第 \(i\) 行第 \(j\) 列表示 \(\dfrac ij\) . 这个玩意就叫做 Cantor 表，入门的时候肯定都做过吧 /cy 如果说按照蛇形来走就可以证明有
1. 摩尔庄园 用树形 dp 模拟网络流。 记 \(a\) 为 \(x\) 走向 \(fa(x)\) 的次数，\(b\) 为 \(fa(x)\) 走向 \(x\) 的次数，\(flw(x) = a - b\)。 这样在从 \(x\) 走向 \(fa\) 时： 如果 \(flw(x) < 0\)，表示有更多次从 \(fa\) 走向 \(x\)，那么这一次费用为 \(-1\)，表示和之前一次从 \(fa\)
生成函数 生成函数（generating function），又称母函数，是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。 生成函数有许多不同的种类，但大多可以表示为单一的形式： \[F(x) = \sum_{n}a_nk_n(x) \]其中 \(k_n(x)\) 被称为核函数，不同的核函数会导出不同的生成函数，分成3类 普通
筛质数 基础的。 // v 标记是否为合数，p 存储质数 for (int i=2; i<=N; ++i) { v[i]||(p[++cnt]=i); for (int j=1,t; j<=cnt&&(t=p[j]*i)<=N; ++j) { v[t]=1; if (i%p[j]==0) break; } } 原理：每个合数 \(t\) 只被其
本专栏的文章是我学习斯坦福cs231n课程的笔记和理解，同时也欢迎大家可以访问我的个人博客，查看本篇文章 目录计算图例子节点详细的计算过程例子特殊的节点高纬向量雅克比矩阵计算过程 计算图 定义：使用计算图来表示任意函数，其中图的节点表示我们要执行的每一步计算。 好处：使用计算
最近有人问我一个问题： 什么时候 logax<x 恒成立？画图感觉是在临界值是 0.144，解析值应该是多少？ 并附了一个他查到的 百度知道。 我先给出答案：当 \(a>e^\frac{1}{e}\) 的时候。 下面是解答： 问题：如果 \(\forall x>0,\log_a(x)<x\)，求 \(a\) 的取值范围。 首先根据对数函数的性质，我们
目录1. 前言2. 一些基础函数3. 积性函数4. 狄利克雷卷积5. 总结6. 参考资料 1. 前言 狄利克雷卷积，是学习与继续探究 \(\mu\) 函数和 \(\varphi\) 函数的重要前提，因为这两个函数中有一些更好用的性质可以从狄利克雷卷积中得到，或者使用狄利克雷卷积更好的证明。 前置知识：一些基础的
目录1. 前言2. 详解3. 总结4. 参考资料 1. 前言 整除分块，是一种数论的基础算法，必备知识，在很多题目中都有涉及但是题目很基础。 整除分块主要解决的是这样一类问题：求值： \[\sum_{i=1}^{n}f(i)g(\Big\lfloor\dfrac{k}{i}\Big\rfloor) \]其中已知 \(f\) 的前缀和或者能 \(O(1)\) 计算
\(2^a=3\)，\(3^b=2\)，求 \(\dfrac1{a+1}+\dfrac1{b+1}\) 的值 . Solve 将 \(2^a=3\) 带入 \(3^b=2\) 得 \(2^{ab}=2\)，即 \(ab=1\) . 于是 \[\begin{aligned}\dfrac1{a+1}+\dfrac1{b+1}&=\dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}\\&=\dfrac{a+b+2}{a+b+2}\\&=1
或许是我太蒟了，想了好久的解法。 此题很明确，我们需要加上若干括号使得最后结果为整数。 明显的，我们在日常的数学计算中，可以发现：设任意分数 \(\dfrac{x}{y}\) （ \(x\) , \(y\) 均为正整数），如果 \(\gcd(x,y)=y\) ，那么 \(\dfrac{x}{y}=x\) ，也就是 \(\dfrac{x}{y}\) 为整数，即 \(x\) ,
Cheese 题目链接：AGC056E 题目大意 给你一个环，边上有老鼠，然后会进行 n-1 次操作： 每次选一个一个点放一个奶酪（每个点的概率给出），然后奶酪会顺时针跑，每到一个老鼠就判定是否被吃，被吃了就那个老鼠和这个奶酪都没了。 要你求最后剩下某个老鼠的概率。 思路 首先做这个东西有一个很重要的
背景与原理： BP神经网络通常指基于误差反向传播算法的多层神经网络，BP算法由信号的前向传播和反向传播两个过程组成，在前向传播的过程中，输入从输入层进入网络，经过隐含层逐层传递到达输出层输出，如果输出结果与预期不符那么转至误差反向传播过程，否则结束学习过程。在反向传播过程中，误差
听说一个人的数论要用伯努利数处理自然数幂和，然而我之前只会插值，吓得跑去学了一下自然数幂和 . 附录 — 前置知识 插值相关：看我的博客 link（旧文慎入） . 第二类斯特林数相关： 定义：第二类斯特林数 \(\displaystyle{n\brace k}\) 表示 \(n\) 个有标号小球放入 \(k\) 个无标号集合，每个
背景与原理： PCA（主成分分析）是将一个数据的特征数量减少的同时尽可能保留最多信息的方法。所谓降维，就是在说对于一个$n$维数据集，其可以看做一个$n$维空间中的点集（或者向量集），而我们要把这个向量集投影到一个$k<n$维空间中，这样当然会导致信息损失，但是如果这个$k$维空间的基底选取的足
D. Steps to One Description 给一个数列，每次随机选一个 \(1\) 到 \(m\) 之间的数加在数列末尾，数列中所有数的 \(\gcd = 1\) 时停止，求期望长度 \(\bmod 10^9 + 7\)。 \(1\le m\le 100000\)。 Solution 设 \(E(x)\) 为 \(x\) 的期望值，\(P(x)\) 为事件 \(x\) 发生的概率。 则 \[\b
必修第二册同步拔高，难度3颗星！ 模块导图 知识剖析 线线平行 1 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述：\(a / / b, b / / c \Rightarrow a / / c\) 2 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 线面平行 1 定
1、Codeforces Round #775 (Div. 2, based on Moscow Open Olympiad in Informatics) A 注意最多只能跳一次。 1 const int N = 110; 2 int t, n, l, r, a[N]; 3 4 int main() 5 { 6 read(t); 7 while (t--) 8 { 9 read(n); l = 1, r = n; 10
引入 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法，常用于求解离散对数问题。该算法可以在 \(O(\sqrt p)\) 的时间复杂度内求解 \[a^x \equiv b \pmod p \]第一部分：\(a \perp p\) 我们将求解的答案 \(x\) 设为 \(km-c \ (c < m)\) 的形式，即 \[a^{km-c} \equiv b \pmod p \]在 \(a \perp
\(\newcommand{e}{\mathrm{e}}\) 链接 没有数学基础，不保证讲解严谨性。 根据套路，设 \([x^t]\hat F(x)\) 为 \(t\) 时刻在终点的概率 EGF，\([x^t]\hat G(x)\) 为从终点走 \(t\) 步回到终点的概率 EGF，并将 \(\hat F, \hat G\) 转回 OGF \(F, G\)（\(\e^{px} \to \dfrac{1}{1-px}\)），因为
目录概率空间条件概率贝叶斯公式事件独立试验独立习题 概率空间 随机试验的每一基本结果称为样本点，通常记作 \(\omega\) ；样本点的全体称为样本空间，通常记作 \(\Omega\) . 事件是样本点的集合，如果在一次试验中样本点 \(\omega\in A\) 出现，则称事件 \(A\) 发生；如果 \(A\) 与 \(
目录Piecewise-polynomial splinesThe minimum propertiesError analysisB-SplinesTruncated power functionsThe local support of B-splinesIntegrals and derivativesMarsden's identitySymmetric polynomialsB-splines indeed form a basisCardinal B-splinesCurve fit
不久前刚学习了导数，现在总结一下基本导数公式的证明。 1.若 \(f(x)=c\) ( \(c\) 为常数),则 \(f^\prime(x)=0\) 。 证明：\(f^\prime(x)=\lim \limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{c-c}{\Delta x}=0\) 2.若 \(f(x)
\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\) 【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019） \({\color{Red}{跟贵哥学数学，so \quad easy！ }}\) 选择性必修第二册同步拔高，难度4颗星！ 模块导图 知识剖析 极值的概念 若在点\(x=a\)附近的左侧
\(\texttt{link}\) 好神仙的科技。/xia 对于一类特殊的期望问题，构造一个函数来评估某一个局面，满足任意局面在一次操作后的期望函数值都恰好增加 \(1\)，那么答案就是最终局面的函数值减去初始局面的函数值，这种函数即势能函数。 记 \(a_i\) 为跟在第 \(i\) 点后面的点的个数，设 \(F(
