标签：Cheese ll int dfrac 奶酪 inv AGC056E mo DP

Cheese

题目链接：AGC056E

题目大意

给你一个环，边上有老鼠，然后会进行 n-1 次操作：
每次选一个一个点放一个奶酪（每个点的概率给出），然后奶酪会顺时针跑，每到一个老鼠就判定是否被吃，被吃了就那个老鼠和这个奶酪都没了。
要你求最后剩下某个老鼠的概率。

思路

首先做这个东西有一个很重要的点：
就是到时什么东西的顺序是有关系的。

你会发现这个奶酪的顺序没有太大的关系，最后用一个重排把类型乘起来就就可以了。
那我们就可以再让所有的奶酪先走到同一个位置（把放下的提前放下），然后再处理一直转圈的情况。

那一开始的东西我们考虑用 DP 求：
\(f_{i,j,k}\) 表示现在到 \(i\) 点，放了 \(j\) 个奶酪，已经有 \(k\) 个被吃了的情况。
然后你就根据两个东西转移：放奶酪和奶酪被吃。
放奶酪不难看，枚举在一个位置放这个奶酪的概率，然后在这个转移的时候不要忘记把重排的下面部分也乘上。
接着是看吃奶酪。
那我们就看这个位置吃不吃，怎么看概率呢，如果吃了就是这当前还在的 \(j\) 个里面有一个吃了，概率是 \(\dfrac{1}{2^j}\)，那没吃自然就是 \(1-\dfrac{1}{2^j}\)。

然后接着考虑怎么转圈。
考虑对于 \(x\) 个奶酪在两个在剩下的 \(y\) 个老鼠中跑，考虑位置相邻的老鼠 \(i,i+1\)，它们两个谁会留下来。
如果都挂了或者都没有挂（就只看一轮），那都没有意义。
如果 \(i\) 挂了 \(i+1\) 没挂，那概率是 \((1-\dfrac{1}{2^x})\dfrac{1}{2^{x-1}}\)
如果 \(i+1\) 挂了 \(i\) 没挂，那概率是 \(\dfrac{1}{2^x}(1-\dfrac{1} {2^x})\)

然后你看看他们两个的比例，会发现是 \(2:1\)！
也就是说 \(p_i:p_{i+1}=1:2\)（\(p_i\) 是 \(i\) 留下来的概率)
那显然 \(\sum\limits_{i=1}^np_i=1\)，所以就是有 \(p_i=\dfrac{2^{i-1}}{2^n-1}\)
那我们要的是第一个，所以就是 \(\dfrac{1}{2^n-1}\)。

然后用 DP 的 \(f_{n,n-1,x}\) 来搞，这里对应的就是 \(n-x\) 个老鼠的答案。
然后就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

const int N = 40 + 5;
int n;
ll a[N], jc[N], inv[N], two[N], twv[N], f[N][N][N];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo; y >>= 1;
	}
	return re;
}

void Init() {
	jc[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i = 1; i < N; i++) inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % mo;
	two[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) two[i] = two[i - 1] * 2 % mo;
	ll tmp = ksm(2, mo - 2); twv[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) twv[i] = twv[i - 1] * tmp % mo;
}

int main() {
	Init();
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]); a[i] = a[i] * ksm(100, mo - 2) % mo;
	}
	
	for (int x = 0; x < n; x++) {
		memset(f, 0, sizeof(f)); f[0][0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++)
				for (int k = 0; k <= j; k++) {
					for (ll l = 0, g = 1; l <= j - k; l++, g = g * a[(x + i) % n] % mo) {
						(f[i][j][k] += f[i - 1][j - l][k] * g % mo * inv[l] % mo) %= mo;
					}
				}
			if (i != n) {
				for (int j = 0; j < n; j++) {
					for (int k = j; k >= 0; k--) {
						if (k != j) (f[i][j][k + 1] += f[i][j][k] * (1 - twv[j - k] + mo) % mo) %= mo;
						(f[i][j][k] *= twv[j - k]) %= mo;
					}
				}
			}
			else {
				ll ans = 0;
				for (int j = 1; j <= n; j++) {
					(ans += f[n][n - 1][n - j] * jc[n - 1] % mo * ksm((two[j] - 1 + mo) % mo, mo - 2) % mo) %= mo;
				}
				printf("%lld ", ans);
			}
		}
	}
	
	return 0;
}

标签：Cheese,ll,int,dfrac,奶酪,inv,AGC056E,mo,DP
来源： https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/AGC056E.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。