标签:结论 dfrac 路径 笔记 times Note Catalan 合法
浅探 Catalan 数
Catalan 数是一种常见于数列OI的一种组合数。
几个基本模型:
- \(n\) 个 \(+1\) , \(n\) 个 \(-1\) 构成一个序列,要求序列的任意前缀和非负。(好用的理解)
- 在平面直角坐标系 \(xOy\) 种,每次可以沿着 \(y\) 轴正半轴或 \(x\) 轴负半轴移动一格,不越过直线 \(y=x\) 的到达 \((n,n)\) 的总方案数。(易拓展的理解)
这里对模型 \(2\) 进行一定的讲解:
正难则反,我们可以通过不考虑限制到达 \((n,n)\) 的方案数减去不合法的方案数,这也便是 \(\operatorname{Catalan}_n\) (下面使用 \(h_n\) 表示)的计算式。
那不合法的方案数如何计算呢?
一个简单但重要的结论:如果它不合法,那么它必定经过直线 \(y=x+1\)。
那么我们将路径与 \(y=x+1\) 的第一个交点以后的部分翻转,那么就可以发现,所有不合法的路径都可以转化成从原点到 \((n-1,n+1)\) 的一条路径(必要性和充分性的证明容易从上面的结论得出)。
所以我们就可以得出路径数量为 \(C_{2\times n}^{n} - C_{2\times n}^{n+1}\)。
一个常用的结论
容易发现在 Catalan 数的应用中很容易遇到关于一个点关于直线 \(y=x+b\) 对称的问题,以下给出结论(方便运用):
\((X,Y)\rightarrow (Y+b,X-b)\)
Catalan 数的几个简单计算式
- \(C_{2\times n}^{n} - C_{2\times n}^{n+1}\)
- \(\dfrac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}\) (注:\(C_{2\times n}^{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\times C_{2\times n}^{n}\))
- 同时也易得递推式:\(h_i=h_{i-1}\times \dfrac{4n-2}{n+1}\)
- \(h_n=\sum_{i=0}^{n-1} h_i\times h_{n-i-1}\) (不同 \(n\) 个节点的二叉树个数模型)
咕咕咕咕
标签:结论,dfrac,路径,笔记,times,Note,Catalan,合法 来源: https://www.cnblogs.com/1l2u3o/p/16483098.html
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