AcWing204.表达整数的奇怪方式 题解 模板 根据题目变形 #include <iostream> using namespace std; typedef long long LL; LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if(!b) { x = 1, y = 0; return a; } LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
1. 中国剩余定理表述 设正整数\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)两两互素，则同余方程组: \[\begin{cases} x \equiv a_1(mod \quad m_1) \\ x \equiv a_2(mod \quad m_2) \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ x \equiv a_n(mod \quad m_n) \\ \end{cases} \]有整数解，且在模\(M =
Hall定理学习笔记 基本定义 现有二分图，其有两个点集X、Y，令|X|<|Y| 对于任意的点集 s \(\in\) X，设 t为 s 与 Y 有连边的点的集合，满足 |s|<=|t|。 这是该二分图有完美匹配的充要条件 证明 必要性 假如一个二分图G存在完美匹配，且不满足Hall定理。 那么对于某k个点，它们连向的都不足k个
信道编码定理 编码构建 解码构建 基于联合典型集解码 误差估计 即存在一种码本使误差趋于0 并且根据证明过程我们可以获得调整码本的方法： 有反馈时信道容量并不能增加 哲学意义？ 证明： 由： 我们有： 信源信道独立定理 对恢复源信息
中国剩余定理 在同余方程得以解决之后，设想有一个这样的问题： \[\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_2\pmod{m_2}\\\cdots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases} \]\(2\le n\le 10\) , \(0\le a_i<m_i\le 10^5\) , \(1\le \prod m_i\le 10^{18}\) , 对于 \(\f
参考：https://www.luogu.com.cn/blog/Chanis/master master定理，又名主定理。用于计算时间复杂度。可以将一个规模为n的问题，通过分治得到a个规模为\(\frac{n}{b}\)的子问题，每次递归带来的额外计算为\(f(n)\)，即 \[T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n) \]原文中是定义一个\(c_{crit}\)，但是
卢卡斯定理就是解决组合数模p的问题的： \[C_{n}^{m}\mod p \]那么卢卡斯定理究竟是如何解决的呢？ 首先，将\(n\)，\(m\)写成\(k\)进制数 \[n= \left (a_{k}a_{k-1}……a_{1} \right )_{p} \]\[m= \left (b_{k}b_{k-1}……b_{1} \right )_{p} \]卢卡斯定理： \[C_{n}^{m}\mod p=\prod_{i=
《孙子算经》有这么一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。 就是说：一些东西，不知道有多少个，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个，问这些东西最少有多少个。 《孙子歌诀》中给出了解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零
给定一个有向无环图，我们称 \(x,y\) 存在关系当且仅当存在 \(x\to y\) 或者 \(y \to x\) 的边。最长链为最大的集合使得其中任意两个元素存在关系，最长反链为最大的集合使得其中任意两个元素不存在关系。 Dilworth 定理：最长反链等于最小链覆盖。 最小链覆盖为用最少的链（可以相交）覆盖
一 CAP 定理 2000 年 7 月，加州大学伯克利分校的 Eric Brewer 教授在 ACM PODC 会议上提出 CAP 猜想。2年后，麻省理工学院的 Seth Gilbert 和 Nancy Lynch 从理论上证明了 CAP。之后，CAP 理论正式成为分布式计算领域的公认定理。 CAP 理论为：一个分布式系统最多只能同时满足一致性（Cons
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C |A1∪A2∪…∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak| - … + |A1∩…∩An|×(-1)^(n+1) ==|Ai|-|Ai∩Aj|+|Ai∩Aj∩Ak|+ |A1∩…∩An|×(-1)^(n+
sg函数，尼姆博弈 sg定理
一个除了可导不对其进行任何额外的要求的函数的导函数，相对于一个一般的函数而言，有什么不同吗？我们可能会想到介值定理和导函数介值定理。施加于导函数上的介值定理和导函数介值定理之所以不等同，一定是因为后者可以获得更多的信息。那么，可以推知，导函数并不是一定连续的。很容易发现，
b进制数最多使某一位减小使得新数是b+1的乘积，不能减输出-1，不用减输出0，否则输出减小的位的下标和减小后的新位。 View problem 思路： 就是更具题意转化为同于定理（把N当成整体来看，枚举的位次一次增加）（中间有除法利用逆元ksn，mod-2） 同余定理 2个数的余数相同（%以同一个数）那么这2个
简介 中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中\(m_1,m_2,...,m_k\) 互质） \[\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\equiv} & {a_{1}\left(\bmod \ m_{1}\right)} \\ {x} & {\equiv} & {a_{2}\left(\bmod \ m_{2}\right)}
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N=1e5+5; 5 ll a[N],mod[N],ans,n,mulsum=1; 6 ll read() 7 { 8 ll x=0,f=1;char ch=getchar(); 9 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=
因为在临时抱佛脚，所以是没有证明的~ 0. 前置芝士 0.1. 拉普拉斯展开 对于行列式 \(D\)，任意第 \(i\) 行（列同理）按下式展开的值与行列式值相等 \[\text{Value}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}\cdot a_{i,j}\cdot M_{i,j} \]其中 \(M_{i,j}\) 是 \(a_{i,j}\) 的余子式。 一些闲话：这个可以用
用类似于“有限覆盖定理的应用之一”的方法 记L(x)=supz,y∈U(x,δ(x));z≠y{|f(z)-f(y)|/|z-y|}, 由有限覆盖定理就得到δ(xi)的最小值δmin然后就用δmin 为间隔分割区间，再由局部有界得其在所有距离为2δmin 的区间都有界，则推出全局有界
λ详细定义见维基百科 证明有限覆盖定理的关键是闭区间套定理提供的极限c的开覆盖 我们用反证法证明： 假定{Eλ}λ∈A为其任意开覆盖,l为A的区间长度，有否定假设，可把A等分为两个闭区间，其中一个不能被有限个E中的开区间覆盖那么继续这个操作得到 ：1.[an,bn]⊂[an+1,bn+1]2.bn-an=l/2n
Lucas定理
定理： 三角形OP2P3的面积，OP2 x OP3，带有符号的面积， 按照右手螺旋定理，为正。同理推测其他三角形。 S总 = ΣSi ， S = |S总|； 推广到表面网格的体积计算， 先看四面体体积计算： 矩阵行列式表达： V是个带符号的实数，正负号与矩阵的行列式的
公式＆定理： 两个互为反演的关系矩阵互逆 二项式反演 1 \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \binom{n}{i}F(i)\) 二项式反演 2（对于形式1进行基本反演推论的应用） \(\large F(n) = \displayst
基尔霍夫定理： 基尔霍夫定理包括基尔霍夫电流定理和基尔霍夫电压定理。 其中基尔霍夫电流定理（KCL）是在集总电路中，任何时刻，任何节点，所有的流入或者流出该节点的支路电流的代数和为0。 基尔霍夫电压定理（KVL）是在集总电路中，任何时刻，任何节点，所有支路电压的代数和恒为0。 理想电压源：两
简介 求解线性同余方程组：x=ai(mod mi) mi之间两两互质，并不是所有的gcd=1，比如6，10，5就不是 则在模mi乘积的范围内的有唯一解 要求两两互质是由于求解的让Mi和mi是互质的 基本上useless,条件比较苛刻 不互质增量法：不断地合并两个方程，最后只剩一个
