Hall定理学习笔记
基本定义
现有二分图,其有两个点集X、Y,令|X|<|Y|
对于任意的点集 s \(\in\) X,设 t为 s 与 Y 有连边的点的集合,满足 |s|<=|t|。
这是该二分图有完美匹配的充要条件
证明
必要性
假如一个二分图G存在完美匹配,且不满足Hall定理。
那么对于某k个点,它们连向的都不足k个点。
那么它们是怎么都被匹配上的???
很显然必要性正确。
充分性
假如一个二分图G不存在完美匹配,且满足Hall定理。
那么假如有一种最大匹配的方案,既然不存在完美匹配,可以找到至少一个未被匹配的点。
因为这个二分图满足Hall定理,所以这个点一定连向了至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中,它们就匹配了,怎么可能呢???
那么这个点在最大匹配中!所以一定有一个点和它匹配了。
因为这个二分图满足Hall定理,所以这个点又一定连向了除它匹配的点外的至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中,一条增广路找到了,怎么可能呢???
那么这个点在最大匹配中!所以……
看懂了吧!我们一定能推出矛盾!
所以充分性正确。
大多数内容参考自https://blog.csdn.net/WerKeyTom_FTD/article/details/65658944
标签:二分,匹配,连向,定理,笔记,假如,Hall 来源: https://www.cnblogs.com/CHK666/p/16346983.html
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