终终终.......于要对组合数学下手了 我们来看一下这个 （在a个苹果中选出b个苹果） 根据以上两种情况： 我们可以得到这个递推式： 我们知道，那么任何一个都可以由更小的递推出来，直接上代码： void init() { for (int i =0; i < N; i ++ ) { for (int j = 0; j <= i; j
在CSP初赛题中，经常会遇到计算一个递推算法的时间复杂度的题目。 对于这类题，如果凭直觉去做，虽说许多情况都能算(蒙)对，但对于稍稍复杂一点的多项式来说，靠直觉去求解就非常困难了，这时可以用主定理来秒杀。主定理是分治算法分析中非常重要的定理。例如，我们要处理一个规模为n的问题，通过
机器学习数学基础Datawhale-8月（5） 事先声明：本文中未作说明的图片均出自《2022考研数学张宇基础30讲》 中值定理 涉及函数的中值定理 前提：f(x)在[a,b]上连续，则 有界与最值定理 m≤f(x)≤M，其中，m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值 必须是闭区间 介值定理 m≤μ≤M时，存在ξ∈[a,b
一、定理内容 算术基本定理，又名唯一分解定理。若\(a>1\),那么必有\(a=p_1 ^ {\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_s^{\alpha _s}\),其中\(p_j(1<=j<=s)\)是两两不相同的质数，\(a_j(1<=j<=s)\)表示对应质数的幂次(出现的次数)。若在不计次序的意义下，该分解式是唯一的。 二、分解质因数 /
使用主定理求解递归式 主定理是分治算法分析中非常重要的定理。 如，我们要处理一个 规模为 \(n\) 的问题通过分治，得到 \(a\) 个规模为 \(\dfrac{n}{b}\) 的问题，分解子问题和合并子问题的时间是 \(f(n)\)：\(T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)\)。 在上面这个式子里，我们得要求 \(a \geqslan
Z上的线性方程 形如ax+by的最小正整数与gcd(a,b)相等 线性方程定理 a \neq 0 \and b \neq 0$，$ax + by = gcd(x,y)总有一整数解(x_1, y_1) 同余式 若a_1 \equiv b_1(\mod \space m)$、$a_2 \equiv b_2(\mod \space m)，则： a_1+a_2 \equiv b_1+b_2(\mod \space m) a_1 \cdot a_2 \e
取模运算的性质 But： 乘法逆元 在算法竞赛中，经常会遇到求解数据很大，则输出模 \(10^9+7\) 的解这类要求。加法、减法、乘法等操作，基于同余理论直接取模即可。但遇到除法时，某步中间结果不一定能完成整除，就无法求解了。所以引入了乘法逆元。 从网上找了几种不同的定义： 定义1： 定义2：
几何部分 托勒密定理：圆内接四边形 \(ABCD\) 中 \(AB\cdot CD+ AD\cdot BC=AC\cdot BD\)。（证明截长补短即可） 中线定理：在 \(\triangle ABC\) 中，记 \(M\) 为 \(BC\) 边中点，则 \(AB^2+AC^2=\frac{1}{2}AM^2+BC^2\)。（证明使用向量） Pappus 定理： 如图，\(GHI\) 三点共线。 Pascal 定理： 如
初等数论 第一章 整除理论 §1 定理1 设 \(P(n)\) 是关于自然数 \(n\) 的一种性质或命题，若 当 \(n=1\) 时，\(P(1)\) 成立 由 \(P(n)\) 成立必可推出 \(P(n+1)\) 成立 那么 \(P(n)\) 对所有自然数 \(n\) 成立 定理2 设 \(T\) 是 \(\mathbb{N}\) 的一个非空子集，那么，必有 \(t_0\in T
扯淡 原名好像是叫hall婚姻定理，好象是用来配对的 然后现在被用来做二分图了 确实非常的好用，这里主要记一下定理的意义极其证明 方便复习 匹配 所谓二分图匹配，就是在二分图上找到一个没有交点的边集 （图片转载自这里 图3表示的就是一个二分图匹配 但是此时3与6的边也可以加入现在
1.前言 扩展中国剩余定理好绕啊，很多地方取模都有讲究，所以写篇笔记来方便自己复习。 2.问题 给出一个二元组序列 \(\{(b_i,m_i)\}\)，要求找出一个 \(Q\)，满足要求： \[\forall (b_i,m_i)，Q \equiv b_i \pmod {m_i} \] 3.思路 找到一个都满足的解，将余数修改为这个解（记录下一个解） 将两个
啊啊啊快吐了。。。。。。。。。。 筛质数 埃筛 对于每一个质数，标记它的所有倍数(除了它本身)为合数。 时间复杂度：\(\mathcal {O}(nlog(log(n)))\)。 拓展1：\(1\sim n\) 中质数约有 \(n/ln(n)\) 个。 拓展2：\(1\sim n\) 中质因数约有 \(nlog(log(n))\) 个。（由埃筛复杂度可知） 题目 Pr
定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明 设c=gcd(a,b)，那么a可以表示为mc，b可以表示为nc的形式。然后令a=kb+r，那么我们就只需要证明gcd(b,r)=c即可。 ∵r=a−kb=mc−knc，∴gcd(b,r)=gcd(nc,mc−knc)=gcd(nc,(m−kn)c)，所以我们只需要证gcd(n,m−kn)=1即可。 设n=xd,m−kn=yd，那么m=kn+yd=kxd+yd
第一章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式 二阶行列式定义 已经数表 则表达式称为由数表所确定的二阶行列式，记作 行列式的元素 数称为行列式的元素或元。元素的第一个下标 i 代表 行标，元素的第二个下标 j 代表 列标。 二阶行列式的计算 利用对角线法则进行计算，实连线称为主对角线 *
中国剩余定理 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 解线性方程组： \(\left(\begin{matrix} x\equiv b_1 \pmod{a_1}\\x \equiv b_2 \pmod{a_2}\\ \cdots \\ x\equiv b_n \pmod{a_n}\end{matrix} \right)\) 解法 \(int \ lcj=a_1*a_2\cdots*a_n,m_i=lcj/a[
一致连续定理 一致连续定义 设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义，如果，\(\forall \epsilon > 0, \exist \delta >0\)，使得对于在区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1, x_2\)，当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，恒有 \(|f(x_1) - f(x_2)|<\epsilon\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连
int div(int x){ int i,s,r; for (i = 2; i * i <= n; i++) { r = 0; //指数 while (n % i == 0) { //循环分解质因数 r++;
前言： 在本章会介绍扩展中国剩余定理，至于为什么不介绍中国剩余定理，因为我懒，而且我认为扩展定理可以解决一切。 扩展中国剩余定理： 解决形如以上方程的最小非负数x。 解决步骤简要分析： 设前k-1个方程解出的答案为ans,前k-1个m的lcm=M,则新的ans为(ans+M*x)，且(ans+M*x)≡ak(m
上帝与集合的正确做法 拓展欧拉定理 欧拉函数性质 题意 求 \[2^{2^{2^{2...}}} \ mod \ p \]\[p \leq 10^7 \]分析 拓展欧拉定理 \[a^b = \begin{cases} a^{b \ mod \ \phi(p)},gcd(a,p) = 1\\ a^b \ ,\ gcd(a,p) \neq 1 \and b\leq \phi(p)\\ a^{b \ mod \ \phi(p) + \phi(p
将同余方程改写等式，用exgcd合并即可 #include<bits/stdc++.h> #define int __int128 using namespace std; int rd(){ int ret=0,f=1;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1; while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); return ret*f;
对于任意一张有n个节点的图，有： 1.最小边覆盖 + 最大匹配 = n2.最大独立集 + 最小点覆盖 = n 比如下面这张图 最小边覆盖{e1,e3,e4} 大小为3 最大匹配{e1,e3} 大小为2 最大独立集{v2,v4,v5} 大小为3 最小点覆盖{v1,v3} 大小为2 由此看来上面的两个结论确实是正确的，那么如何
1 子空间的定义 满足以下三个条件的向量集V称为子空间 1，零向量属于V 2，如果向量u和向量w属于V，那么向量u+w属于V 3，如果向量u属于V，并且c是一个标量，那么向量cu属于V ——》条件1说明： 向量集非空 0倍的向量u也在子空间中 ——》条件2+条件3正好
裴蜀定理 定理内容: 设 a a a, b b b是不全为
什么是中国剩余定理呢？ 当m1,m2,....mn的值两两互质的时候，求x的值。 假设 M = m1 * m2 * ... * mn 在设 Hi = M / mi （也就是除了mi之外，其他的m值的乘积） 由于m1,m2...mn两两互质， 所以Hi与mi是互质的。 那么Hi ^ (-1) 也就是 Hi 关于 mod mi 的逆元是存在的。 （使用扩展欧几
今天在 看 反相吧 的 时候 想起来 写 这篇文章 。 x 色定理 就是 四色定理 推广到 n 维空间 。 n 维空间 中， 任意 个 任意形状的 n 维体 任意相接， 最少 需要 几种 颜色 来 区分 ？ 这就是 n 维空间 x 色定理 问题 。 之前 在 反相吧 里 ， aa 老
