目录基本概念群正规子群与同态环与域 基本概念 元素。集合。空集合。子集 。真子集 。\(A=B\Longleftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\) 。幂集：一个集合所有子集组成的集合， \(P(A)\) 。交集。并集。性质：幂等性；交换律；结合律；二者之间有分配律。 关系：\(M\times M\) 的子集
欧拉定理和函数的一些理解 欧拉定理，先放式子： \[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m} \]前提是 \(\gcd(a,m)=1\)。 证明：设 \(r_1,r_2,...r_{\varphi(m)}\) 为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系，那么 \(ar_1,ar_2,...ar_{\varphi(m)}\) 也为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系。 所以：
今天本身是要学习莫比乌斯反演的，然后题单里面出现了一道需要用杜教筛的题，我还推到了只剩杜教筛的地方 于是迫不得已学习了这种神仙算法，真是迫不得已啊。。。。 杜教筛是一种在线性复杂度以下的求积性函数前缀和的高级算法，大概在\(O(n^{\frac{2}{3}})\)左右 前置知识 积性函数 积性
1. 狄拉克符号 1.1 基矢 \(|0 \rang = \binom{1}{0}\) \(|1\rang = \binom{0}{1}\) \(\lang 0| = (1~0)\) \(\lang 1| = (0~1)\) 1.2 态矢 \(| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) \(\lang \psi| = |\psi \rang ^{\dagger} = \Big( \left(|\psi \
1. 狄拉克符号 1.1 基矢 \(|0 \rang = \binom{1}{0}\) \(|1\rang = \binom{0}{1}\) \(\lang 0| = (1~0)\) \(\lang 1| = (0~1)\) 1.2 态矢 \(| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) \(\lang \psi| = |\psi \rang ^{\dagger} = \Big( \left(|\psi \
欧拉函数 \(φ(n)\) :定义：1~n中与n互质的数的个数(这里指的是gcd(i,n)=1的i,所以说phi[1]=1) 公式： \[设N=p1^{α1}*p2^{α2}*p3^{α3}... \]\[则\varphi(N)= N*(1-\frac{1}{p1})*(1-\frac{1}{p2})... \]公式证明： 原理：容斥原理 从1~n中所有与N互质的数的个数 1.先从1~N中去掉p1,p2,
文章目录 概率密度分布情况转载 昨天群里大家讨论到了 n n n维向量的一些反直觉现象，其中一个话题是“ 一般 n n
G. GCD Festival 推式子 COMPFEST 13 - Finals Online Mirror 题意 给定数组\(a\)，求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(a_i,a_j) \cdot gcd(i,j) \]\[2 \leq n \leq 10^5\\ 1 \leq a_i \leq 10^5 \]分析 \(n = \sum_{d|n} \varphi(d)\) \(gcd(i,j) = \sum_{d|gcd(i,j)
浅淡数论 随手写写，就当是复习 顺序随机(因为我太菜了，所以只能想到什么写什么) gcd __gcd(a,b) or \(\gcd(a, b) = \gcd(a, b - a) = \gcd (b,a \% b)\) inline int gcd(int a, int b) { if (!b) return a; return gcd(b, a % b); } lcm inline int lcm(int a, int b) { retur
素数 判定： 可以 \(O(\sqrt n)\) 复杂度暴力的求出一个数是否是素数。 筛选： 埃式筛法： 扫描每个没有被打标记的数，将它的倍数打上标记，剩余的所有没有打标记的就是素数。 线性筛法： 扫描每个数，如果没有被打标记，那么把这个数压入素数表里，然后把这个数的标记打为自己，之后对每个数，把所有比
\(\text{Description}\) 定义函数 \(f\)，该函数满足 \[\sum\limits_{d\mid n}f(d)=n \]给定 \(N\) 个正整数 \(A_1,A_2,\dots,A_n\)，请求出 \(\sum_{i=1}^Nf(A_i)\)。 测试点编号 \(N\) \(A_i\) \(0\) \(100\) \(\le100\) \(1\) \(100\) \(\le100\) \
NowCoder2018多校A Ternary String 拓展欧拉定理 题意 给定带前导0的三进制数，每秒自动进行一次操作，1的后面多一个0，2的后面多一个1，开头的字符被删除，求这个数变为空的操作次数 求操作次数取模\(1e9+7\) \[1 \leq |s| \leq 10^5 \]分析 考虑记录时间，原串中每个数带来的贡献，可以简单
欧拉函数： 定义： \(\varphi (n)\) 表示小于等于 \(n\) ，和 \(n\) 互质的数的个数。 当 \(n\) 为质数， \(\varphi(n)=n-1\) 性质： 欧拉函数为积性函数(可以用线性筛计算) 如果 \(gcd(a,b)=1\) , 那么 $\varphi(a \times b)=\varphi(a) \times $ 当 \(n\) 为奇数时 \(\varphi(2n)=\va
电场方向指向电位降低的方向 如果确实测量到有电势的改变，那么对于电场的 \(X\) 分量，其大小为 \[|E_x|=\left.|\frac{\Delta V}{\Delta x}|\right|_{y,z} \]同理可以测得电场在 \(Y\) 方向上的分量 \[|E_{y}|=\left.|\frac{\Delta V}{\Delta y}|\right|_{x z} \]以及在 \(Z\) 方
特征函数的作用 特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于： 可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题 ； 特征函数的定义 设 X
欧拉定理： \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\) 推论 \(1\) ：\(a^{\varphi(p-1)}\equiv 1 \pmod p\) ，其中 \(p\) 是质数（费马小定理）。 推论 \(2\) ：若 \(a\perp m\) ，那么 \(a^{-1} \equiv a^{\varphi(m)-1} \pmod m\) （求逆元）。 推论 \(3\) （扩展欧拉定理）：对于 \(b \ge m\) ，\
感觉这几个月做的数学都是把数学当工具的数学题，欧拉函数、莫比乌斯之类的好像上一次做还是在上一次 好几年前，于是在洛谷上找了几个专题来练一练。隔了感觉有两三年了，其实好多东西都忘差不多了。 （待更新） 目录零碎知识欧拉函数和欧拉定理卷积、莫比乌斯函数和莫比乌斯反演一些练习
看到多元函数条件极值的题目，常用拉格朗日乘数法对号入座。但有时候如坐针毡，因为这种看似万能的方法计算量太大了。解方程解的生无可恋是常态。所以我总结了一些解条件极值的小技巧，希望对大家有所帮助。 总的来说，思路分为五种： 1.从前几个式子中找出 x,y,z 之间的关系，然后带入
题意 给定长度为 \(n\) 的数列 \(a\)，要求支持 \(m\) 次以下操作： 将区间 \([l,r]\) 的每一个 \(a_i\) 替换为 \(c^{a_i}\)，其中 \(c\) 是给定的常数 询问 \([l,r]\) 的区间和，对 \(p\) 取模 \(1 \leq n,m \leq 5 \times 10^4,1 \leq p \leq 10^8,0 \leq a_i < p,0 < c < p\) 题解
题目 看题解才会的（指把题解瞅了个遍），没脸发题解 简单性质 \[\large \begin{aligned} &\varphi(ij)=ij\prod_{p\mid ij}\frac{p-1}{p}\\ &\varphi(\text{gcd}(i,j))=\text{gcd}(i,j)\prod_{p\mid i,p\mid j}\frac{p-1}{p}\\ &\varphi(ij)\times\varphi(\text{gcd}
目录BSGS欧拉定理P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑P4139 上帝与集合的正确用法CF906D Power TowerP3934 [Ynoi2016] 炸脖龙 IP3747 [六省联考 2017] 相逢是问候扩展中国剩余定理P4774 [NOI2018] 屠龙勇士 建议配合数论相关复习食用。 会不断更新的。 BSGS 按着下面这个博客刷的，我
杜教筛 对于一个数论函数 \(f\) 我们希望求其前缀和， 这时可以引出另一个数论函数 \(g\) 则我们可以得到： \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\left \lfloor \frac{i}{d} \right \rfloor)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\) 把第一个式子卷一下： \(\su
阶（multiplicative order） \(\textbf{Def.}\)：\(\delta_m(a)\) 为最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod m\)，其中 \((a,m)=1\)。 Observation 1：\(\boxed{a^0\not\equiv a^1\not\equiv\dots\not\equiv a^{\delta_m(a)-1}\pmod m}\)。 \(\textbf{Proof}
[总结] 线性筛与积性函数 利用线性筛中一个数仅仅被它最小的质因子筛掉的性质，结合积性函数的特殊性质，往往可以预处理出积性函数的值。 \(\varphi(x)\) 设 \(P\) 是质数，显然 \(\varphi(p)=p-1\)。 根据定义式：\(\varphi(x)=x\cdot \prod_{i=1}^k{\frac{p_i-1}{p_i}}\)，则 \(\varphi
传送 这题完全是一道数学题，前几步初等数学，后几步高等数学。 对于3d空间，都能想到像橘子瓣儿一样取出一个薄片，算出那个不会被炸到的角度占\([0,\pi]\)的比例.记和\(z\)轴正向的夹角为\(\varphi\)，用初中物理知识可以得到 \[\cos \varphi \leqslant \frac{v_0^2t^2+25t^4-r^2}{10v_0
