浅谈不动点法在数列中的应用 不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。数学中的各种方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，均可改写成 \(x=f(x)\) 的形式。 不动点法在解释线性空间，动态规划以及
求 \[2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}mod\,p \]\[p\leq 10^7 \] 显然硬干是不行的，那么考虑别的思路。设 \(f(p)\) 为原式模 \(p\) 的解，那么 \(f(p)=2^{f(\varphi(p))+\varphi(x)}\) ,递归可以求出上一项的值即可，边界是 \(\varphi(p)=1\) 时 \(f(p)=0\) ，需要预处理出 \(\varphi\) 的值。 #
0. 前置知识 0.1 常用数学标识 若 \(a\) 与 \(b\) 模 \(p\) 同余，则写成 \(a\equiv b\pmod p\)。 完全剩余系：\((a_1,a_2,...,a_{n-1})\) 模 \(n\) 两两不同，则称 \((a_1,a_2,...,a_{n-1}))\) 为模 \(n\) 的 完全剩余系。 0.2 二项式定理 \[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^
原根 阶：满足 \(a^n\equiv 1(\mod p)\) 的最小的 \(n\)，为 \(a\) 模 \(p\) 的阶 原根：若 \((a,m)=1\) 且 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根 判定方法： 若对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因子 \(p\)，都有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)\) 存在定理：需要满
目录原根Some Important Ideas Before THis阶DefinitionProperty 1Property 2Property 3Property 4原根Definition原根判定定理原根个数原根存在定理原根存在定理Lemma to Theorem 1Theorem 1Lemma to Theorem 2Theorem 2Theorem 3Theorem 4 原根 Some Important Ideas Before THi
积性函数与完全积性函数 \(e(n) = [n=1]\) \(I(n) = 1\) \(id(n) = n\) 迪利克雷卷积 记 \(h = f *g\) 表示 \(f,g\) 的迪利克雷卷积为 \(h\) \[h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]迪利克雷卷积有交换律、结合律、分配律： \[\begin{aligned} f* g &= g *f \\ (f* g) *h &= f*
有力量的数字筛（？） Powerful Number 有力量的数字（？） 定义一个数 \(n\) 为 Powerful Number（简称 PN），当且仅当 \(n\) 没有非平方因子。 也即，若 \(n=\prod p_i^{e_i}\)，则 \(\forall e_i>1\)。 Lemma 保障 PN 筛时间复杂度的一个性质。 \(n\) 以内的 PN 个数为 \(O(\sqrt n)\)。 首先，考虑
原根存在性定理的证明 定义模\(m\)意义下满足阶为\(\varphi(m)\)的元素为\(m\)的原根，求证\(m\in\N^+\)的原根存在，当且仅当\(m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}\)，其中\(P\)为素数集。显然，如果\(m\)的原根存在，那么\(m\)的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va
题目描述 求\(1\sim n\)每个数欧拉函数之和 想法 如果\(i\)是质数 \(\varphi (i) = i - 1\) 质数\(i\)只有\(1\)和\(i\)两个因数，\(i\)不和\(i\)本身互质，因数只有一个\(1\)，所以互质的数就有\(i-1\)个 如果\(i\)不是质数 \(i \% j = 0\) \(j\)是质数 则\(j\)即\(i\)的一个质
八个月前浅尝辄止地碰了一下初等数论，写了一大堆零零散散的blog，想了想最好还是把它们整理一下，顺便补充一点当时没学到/没写到的内容。 以下讨论对象均为整数。 exgcd 21.11.02 即扩展欧几里得，可以以普通欧几里得的复杂度求出关于 \(x,y\) 的不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特
归档。 试证明：\(\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x\) Lemma 1. 试证明：\(\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k\)，其中 \(p\) 为质数。 证明：显然，和 \(n\) 不互质的数一定含有 \(p\) 因子，而在 \([1, n]\) 中总共有 \(\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}\) 个
BSGS 大步小步算法 \(Baby~Step, Giant~Step\)，大步小步算法（轻量级算法，求解高次同余方程）。 思路 先上例题：给定整数 \(a,b,p\)，其中 \(\mathbf{a,p}\) 互质，求一个非负整数 \(x\)，使得 \(a^x\equiv b\pmod p\) 朴素算法概述： 考虑一个暴力算法，在 \(\bmod~p\) 的意义下，\(a^x\) 显然有一个
cyj 的场哦/qq/qq/qq 考场 80+30+40 但感觉最后一题或者第一题是要做出来的…… P5572 CmdOI2019 简单的数论题 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \varphi(\frac{ij}{\gcd^2(i,j)})=\sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{[\frac nd]}\sum_{j=1}^{[\frac md]}\varphi(i)\varphi(j)[(i,j)=1] =\sum_
给定 \(n,m\)，保证 \(\mu^2(n)=1\)，求： \[\sum_{i=1}^m\varphi(in) \]模 \(10^9+7\)，\(n\leq 10^{10},m\leq 10^9\)． 对于把 \(\varphi(in)\) 拆开，比较经典的是考虑每个质因子 \(p\) 的贡献，则有： \[\begin{aligned} &\sum_i^m\varphi(in) \\ =&\sum_i^m\frac{\var
Description \(\mathcal{P}\text{ortal.}\) Solution 首先想到要把 \(\varphi(ij)\) 拆开，这里有个公式 \[\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))} \]考虑证明，有 \[\begin{aligned} \varphi(i)\varphi(j) &= i\prod\limits_{p|i,p\i
数叶子 分别考虑每个点的贡献，发现只和与他相邻的边有关系 不妨枚举是哪条边产生贡献，假设是第 \(x\) 条边 那么在他左边就有 \(x-1\) 条边再加上选择区间的左端点 一共要选出 \(x\) 个点 右边同理要选出 \(deg-x+1\) 条边 枚举这条边在哪里就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m}\binom{i}{x
P1891 疯狂 LCM 题意： 给定 \(n\)，求： \[\sum_{i = 1}^n \operatorname{lcm}(i, n) \]思路： 先把 \(lcm\) 换成 \(gcd\)： \[\ n\sum_{i = 1}^n \frac{i}{gcd(i,n)} \]加一个枚举因数的 \(\sum\) \[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^n \frac{i}{d}[gcd(i,n)=d] \]即 \[\ n\sum_
\(ARMA(1, ~ 1)\) process is a time series \(\left\{ X_{t} \right\}\) defined as: \[X_{t} - \phi X_{t-1} = Z_{t} + \theta Z_{t-1} \]where \(|\phi| < 1\) and \(\left\{ Z_{t} \right\} \sim WN(0, ~ \sigma^{2})\)。 它的 ACVF (autocovari
一、基本原理 公钥与私钥的产生 随机选择两个不同大质数 \(p\) 和 \(q\)，计算 \(n=p\times q\)。 求得 \(\varphi ( n )\)。 选择 \(e < \varphi ( n )\)，使 $e \perp \varphi (n) $。并求得 \(e\) 在模 \(\varphi ( n )\) 下的逆元 \(d\)。 销毁 \(p\) 和 \(q\)。 此时，\(( N , e
已知数列$\left\{a_n\right\}: 3^1,3^2,3^3 \cdots$ 问第2022项个位数字多少 这个小学找规律问题很简单，$3^n$个位数以3，9，7，1为循环节循环，照这个规律很容易得到答案 作为掌握一定数论知识的我们，当然要探其渊薮 个位数的本质是mod 10，而（3，10）=1，根据欧拉定理$3^{\varphi(10)}\equiv 1(mod
定义 \(\varphi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 的和 \(n\) 互质的数的个数 比如 \(\varphi(1)=1\) 当\(n\) 为质数时 \(\varphi(n)=n-1\) \(\varphi(n)=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}),\gcd(p_i,n)=1\) ，这可以用性质 1 和 3 来证 欧拉函数的一些性质 欧拉函数是积性函
Problem: 题目描述 Informatik verbindet dich und mich. 信息将你我连结。 B 君希望以维护一个长度为 \(n\) 的数组，这个数组的下标为从 \(1\) 到 \(n\) 的正整数。 一共有 \(m\) 个操作，可以分为两种： 0 l r 表示将第 \(l\) 个到第 \(r\) 个数（ \(a_l,a_{l+1} ...a_r\)）中的每一
Eq(75) \[\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\left( 1+cos\theta \right)& \frac{1}{2}sin\theta e^{-i\varphi}\\ \frac{1}{2}sin\theta e^{i\varphi}& \frac{1}{2}\left( 1-cos\theta \right)\\ \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{2
筛质数 基础的。 // v 标记是否为合数，p 存储质数 for (int i=2; i<=N; ++i) { v[i]||(p[++cnt]=i); for (int j=1,t; j<=cnt&&(t=p[j]*i)<=N; ++j) { v[t]=1; if (i%p[j]==0) break; } } 原理：每个合数 \(t\) 只被其
欧拉函数 非常有用的欧拉函数！嗯……好像应该放在四大定理前讲的来着QAQ 1. 欧拉函数的定义 定义\(\varphi(N)\)为\(1\)~\(N\)中与\(N\)互质的数，假设\(N\)可以表达为\(p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，\(\forall i\in [1,k], p_i\)为质数，\(a_i>0\) 则\(\varphi(N)=N\time
