标签：primitive 原根 pmod varphi textbf delta root equiv
阶（multiplicative order）
\(\textbf{Def.}\)：\(\delta_m(a)\) 为最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod m\)，其中 \((a,m)=1\)。
Observation 1：\(\boxed{a^0\not\equiv a^1\not\equiv\dots\not\equiv a^{\delta_m(a)-1}\pmod m}\)。
\(\textbf{Proof}\)：若 \(\exists i,j,s.t.0\leqslant i<j<\delta_m(a),a^i\equiv a^j\pmod m\)，则 \(a^{i-j}\equiv 1\pmod m\)，又 \(i-j<\delta_m(a)\)，矛盾。
\(\blacksquare\)
Observation 2：\(\boxed{\delta_m(a)\mid\varphi(m)}\)。
\(\textbf{Proof}\)：由欧拉定理： \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)，因为 \(1^x=1\)，所以如果存在 \(x_0\) 使得 \(a^{x_0}\equiv 1\pmod m\)，那么 \(x_0\) 倍数也一定可以，也就是说存在周期性，所以 \(\delta_m(a)\mid\varphi(m)\)。BTW，同时也有若 \(a^n\equiv 1\pmod m\)，则 \(\delta_m(a)\mid n\)。
\(\blacksquare\)
顺便可以知道若 \(a^p\equiv a^q\pmod m\)，则 \(p\equiv q\pmod{\delta_m(a)}\)。
Lemma 1：设 \(m\in\mathbb{N}^*\)，\(a,b\in\mathbb{Z}\)，\((a,m)=(b,m)=1\)，则 \(\boxed{\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)}\) 的重要条件是 \((\delta_m(a),\delta_m(b))=1\)。
\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。
Lemma 2：设 \(k\in\mathbb{N}\)，\(m\in\mathbb{N}^*\)，\(a\in\mathbb{Z}\)，\((a,m)=1\)，则 \(\boxed{\delta_m(a^k)=\frac{\delta_m(a)}{(\delta_m(a),k)}}\)。
\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。
原根（primitive root）
\(\textbf{Def.}\)：对于 \((a,m)=1\)，若 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则称 \(a\) 是模 \(m\) 的原根。
Lemma 1（判定定理）：设 \(m\geqslant3\)，\((a,m)=1\)，则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根当且仅当 \(\boxed{\forall p\in\mathbb{P},p\mid\varphi(m),a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv1\pmod m}\)。
\(\textbf{Proof}\)：必要性显然，充分性证明见此处。
Lemma 2（数量定理）：若 \(m\) 存在原根，则其原根数量为 \(\boxed{\varphi(\varphi(m))}\)。
\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。
Lemma 3（存在定理）：\(m\) 存在原根当且仅当 \(\boxed{m=2,4,p^\alpha,2p^\alpha}\)，其中 \(p\) 为奇素数，\(a\in\mathbb{N}^*\)。
\(\textbf{Proof}\)：略，具体见此处。
若 \(m\) 存在原根，则最小原根 \(\leqslant m^\frac{1}{4}\)。
标签：primitive,原根,pmod,varphi,textbf,delta,root,equiv 来源： https://www.cnblogs.com/orchid-any/p/15156590.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。