P2350 [HAOI2012]外星人 给定一个表示为 \(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{q_i}\) 的数 \(N\)。 对于 \(N\)，求出 \(x\) 满足 \(\begin{matrix}\underbrace{\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\dots \varphi(N) \dots))))}\\x 个 \varphi()\end{matrix}=1\)。
复杂度分析 前言 \(O(x)\) 表示 \(x\) 的严格上界，\(\Omega(x)\) 表示 \(x\) 的严格下界，\(\Theta(x)\) 表示 \(x\) 的严格界（即严格上下界同阶）。 让人遗憾的是，人们在OI往往滥用了它们，严格来说，除了 \(O(1)\) 和 \(\Theta(1)\) 可以无歧义的混用，其他地方都应该保持谨慎。 均摊分析 势
文章目录 欧拉函数分解质因数法递推法求单个欧拉函数线性筛 欧拉函数 欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n)
引入 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法，常用于求解离散对数问题。该算法可以在 \(O(\sqrt p)\) 的时间复杂度内求解 \[a^x \equiv b \pmod p \]第一部分：\(a \perp p\) 我们将求解的答案 \(x\) 设为 \(km-c \ (c < m)\) 的形式，即 \[a^{km-c} \equiv b \pmod p \]在 \(a \perp
定义 狄利克雷卷积是定义在数论函数间的一种二元运算： \[(f\ast g)(n)=\sum_{xy=n}f(x)g(y) \]也等价于下面这种形式： \[(f\ast g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]性质 若 \(f,h\) 是积性函数，则 \(f\ast g\) 也是积性函数 狄利克雷卷积满足交换律 \[(f\ast g)(n)=\sum_
狄利克雷卷积 定义:\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)\) 很显然满足交换律和结合律。 积性函数 为积性函数的有: \(I (n)\) (或\(1(n)\) ),恒等于1，所以叫恒等函数 \(\epsilon (n)\) (或者\(e(n)\) ),当且仅当 \(n=1\) 时，其值为 \(1\),否则为 \(0\),其满足(\(e*f=f\))(因此为狄利克
任意方程求根 全文目录 （博客园）机器学习 （Github）MachineLearning Math 1.简介 方程和函数是代数数学中最为重要的内容之一，从初中直到大学，我们都在研究着方程与函数，甚至我们将图形代数化，从而发展出了代数几何、解析几何的内容。而在方程与函数中，我们研究其性质最多的，往往就是方程的根
目录0. 前言原根Number Theoretic TransformsInverse Number Theoretic Transforms 0. 前言 我们在学Fast Fourier Transforms的时候就会发现输出栏有res[i]=(unsigned long)(a[i].real()/limit+.5) 这里需要加上\(0.5\)以保证输出精度 输出精度是怎么产生的呢？ 我们用复数运算，这
Description 给定整数 \(n, m\)，求 \[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2 \gcd(i, j) - 1 \] 对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \le n, m \le 10^5\)。 Solution 不妨设 \(n\le m\)。 \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2 \gcd(i, j) - 1 & = - nm + 2
P3768 简单的数学题 Description 给定整数 \(n,p\)，请求出 \[\left(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^n ij \gcd(i, j) \right) \bmod p \] 对于 \(100\%\) 的数据，\(n\le 10^{10}, 5 \times 10^8 \le p \le 1.1 \times 10^9\) 且 \(p\in \mathbb{P}\)。 Solution \[\b
加法同态 - Paillier算法 Pailier算法是法国密码学家Paillier于1999年欧密会上发表，该算法基于复合剩余类的困难问题，是一种满足加法的同态加密算法。 数学知识 1、Carmichael函数，当a与n互素时， a
RSA加密算法是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。RSA是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年一起提出的 [1] RSA 加密算法的可靠性源自于对于极大的整数做因数分解很难在有限的时间内得到有效
先撇开这题不谈，通过这题我倒是发现了推了十几道莫反后连狄利克雷前缀和都没学扎实。 狄利克雷前缀和定义：\(f*1=g\)，我们称 \(g\) 是 \(f\) 的狄利克雷前缀和。 给定 \(f_1,f_2...f_n\)，考虑如何在 \(O(n\log\log n)\) 内求出 \(g\) 函数。 沿用高维前缀和的思路，我们可以把每一个质因
算法竞赛进阶指南--打卡--数学知识篇--0x30 ①：可见的点（欧拉函数，暴力） 在一个平面直角坐标系的第一象限内，如果一个点$ (x,y)$ 与原点 \((0,0)\)的连线中没有通过其他任何点，则称该点在原点处是可见的。 例如，点 \((4,2)\) 就是不可见的，因为它与原点的连线会通过点$ (2,1)$。 部分可见
信息的加密与去密 信息加密的简单模型如图所示： 就是先对数字信息\(x\)做一个变换\(E\)，将变换后的信息\(y=E(x)\)发出，接收方收到信息\(y\)后，进行一个相反的变换\(D\)(也就是\(E\)的逆运算)，恢复成数字信息\(x=D(y)\)，从而识别原始信息。 通常把数字信息\(x\)叫做明文，加密后得到的数
一不小心就颓废了3个多月，真爽，2022年了，还是得写点东西。 写的东西呢，是关于可逆反应中，物质的总量固定，该以怎样的投料比投料才能使平衡转化率最大。 之前做题的时候就错了，后来问老师才知道是结论，可是，这玩意儿没证明用起来也太不爽了。 于是，在网上到处找，终于摸清了证明的路数，在这里做
阶与原根 引入 根据欧拉定理，我们知道：若 \(a \perp m\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。 因此，数列 \(a^1,a^2,a^3,\cdots\) 在模 \(m\) 意义下有一个 \(\varphi(m)\) 的循环节，因为 \(a^{\varphi(m)+1}\equiv a\pmod{m}\)。 然而，我们并不能保证它是最短的循环节。于是我们把
以下涉及到的运算如无特殊说明均为模 \(p\) 意义下的运算 阶与原根 我们把最小的满足 \(a^x\equiv1\) 的正整数 \(x\) 称为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的阶。 如果 \(a\not\perp p\)，则 \(a\) 的阶不存在。这是因为 \(a,p\) 均有 \((a,p)\) 这个因子，所以 \(a^x-kp\) 也一定含有 \((
数学证明是一首叙事诗。 —— 知乎用户 “cyb 酱” 的曾使用的签名 这里是 Nickel 自学离散数学中“形式语言与自动机”的相关内容时的笔记。由于是单纯的看书自学，就拉来了 Windy 一起学习，以减弱 消除 笔记的正式性，可以看做是一个随笔，这也意味这学校开设这门课程时会再有一个正
幂的取模 题目链接：ybt金牌导航8-4-9 题目大意 多组数据，每次给你 p。 要你求 2^2^2^2^... 一直下去取模 p 的结果。 思路 你考虑它不停的指数，你考虑找一个东西可以化简上面部分的。 然后有一个东西叫做扩展欧拉定理，就是 \(a^x\equiv a^{x\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod{p}\)。
六、相量法 应用于激励为交流（正弦波）的线性电路 相量法是利用正弦量和复数的关系，将微分方程变成代数方程，从而将求微分方程的特解转变为求代数方程的解。 正弦电流、电压的有效值 工程中常将正弦电流或电压在一个周期内产生的平均效应这一等效的直流量称为正弦量的有效值，用相应的大
原题传送门 题意： T T T组数据，对于每个模数 p p p，求 2
目录0x30 数学知识0x33 同余概念与定理例题The Luckiest Number扩展欧几里得算法$(exgcd)$定理及概念线性同余方程高次同余方程0x34 矩阵乘法0x35 高斯消元与线性空间高斯消元线性空间0x36 组合计数基本概念组合数的求法二项式定理多重集的排列数与组合数Lucas 定理Catalan 数列 0
欧拉函数 定义 我们定义 \(\varphi (x)\) 为 小于 \(x\) 的正整数中与 \(x\) 互质的数的个数，称作欧拉函数。数学方式表达就是 \[\varphi(x) = \sum_{i < x} [i \bot x] \]但需要注意，我们定义 \(\varphi(1) = 1\) 。 性质 若 \(x\) 为质数，\(\varphi(x) = x - 1\) 。 证明：这个很
Problem A. 货币兑换 / \(\mathcal{Money}\) 最贪心的思路显然是每次取当前花费最小的一边，但是暴力做显然会超时。考虑我们这样选造成的后果 —— 两种数字花费的价格一定是差不多的，于是我们可以二分这个“差不多”的价格 \(mid\)，每次尽可能将两种货币能换的都换了，不过需要注
