积性函数前缀和-个人总结 【写在前面】 用了一个多星期将这部分大致弄懂了，东西太多，有很多技巧，自己重新写了一下，记录自己的理解。内容与原文基本一致，在其基础上加上了一些我感觉比较重要的但他没有详细说明的东西。以下都是我逐字打出来的。如果有什么错误，请指出。——Simon 前置技
\[ 求\sum_{i=1}^{n}(\sqrt[3]i,i)\\ 首先转化一下这个式子，考虑对于i\in[j^3,(j+1)^3-1]，\sqrt[3]i=j\\ 所以可以枚举所有j，然后对i\in[j^3,(j+1)^3-1]区间的(i,j)求和即可 那么我们把n分成两部分，分别求和：\\ \sum_{i=1}^{n}(\sqrt[3]i,i)=\sum_{i={\lfloor \sqrt[3]n\rfloor}^3}^{n}
欧拉定理 若\(\gcd(a,m)=1\)，则满足\(a^{\varphi (m)} \equiv 1 \pmod m\) 证明 设\([1,m)\)内与\(m\)互质的数为数列\(\{b_n\}=\{b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{\varphi (m)}\}\) 因为\(a,m\)互质且\(b_i,m\)互质，所以数列\(\{A_n\}=\{ab_1,ab_2,ab_3,\cdots,ab_{\varphi(m)}\}\)中每
题意 求222... mod p2^{2^{2...}}\ mod\ p222... mod p 思路 设f(p)=222... mod pf(p)=2^{2^{2...}}\ mod\ pf(p)=222... mod p 根据欧拉定理的推论，ab mod p=ab%φ(p)+φ(p) mod p，(b>φ(p))a^b\ mod\ p=a^{b\% \varphi(p)+\varphi(p)}\ mod\ p，(b>\varphi(p))ab
经验给掉先： 经验*1 经验*2 经验*3 这里给个跑得比较慢的 \(n \sqrt n\) 预处理然后 \(O(1)\) 回答询问的做法 式子 首先我们推柿子： \[\begin{aligned}ANS&= \sum_{i=1}^n lcm(i,n)\\ &=\sum_{i=1}^n {i* n\over (i,n)} \\&= n\sum_{i=1}^n {i\over (i,n)} \\&=n\sum_{d|n} \sum_{
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j)\\$ $=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}\varepsilon(gcd(i,j))$ $=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{g=1}^{n/d}\mu(g)\cdot (n/d/t)^{2}$ $=\sum_{T=1}^{n}(n/T)^{2}\sum_{d|T}\mu(T/d)\cdot d$ $=\sum_{T=1}^
1227 平均最小公倍数 Lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数，A(n)表示Lcm(n,i)的平均数(1 <= i <= n)， 例如：A(4) = (Lcm(1,4) + Lcm(2,4) + Lcm(3,4) + Lcm(4,4)) / 4 = (4 + 4 + 12 + 4) / 4 = 6。 F(a, b) = A(a) + A(a + 1) + ...... A(b)。(F(a,b) = ∑A(k), a <= k <= b) 例如：F(2, 4) =
FESTUNG - 3. 采用 HDG 方法求解对流问题1 1. 控制方程 线性对流问题控制方程为 \[ \begin{array}{ll} \partial_t c + \nabla \cdot f = h, & \mathrm{in} \; J \times \Omega \\ c(x, 0) = c_0(x), & \mathrm{on} \; {0} \times \Omega \\ c(x, t) = c_D, & \mathrm{on
刚学的欧拉反演（在最后）就用上了，挺好$qwq$ 题意:求$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(2*gcd(i,j)-1)$ 原式 $=2*\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}gcd(i,j)\space-m*n$ $=2*\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^M\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)\space-m*n$ $=2*\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rflo
1.定义 $\epsilon(n)=\begin{cases} 1& n=1 \\ 0& n >1 \end{cases}$ $I(n)=1$ $id(n)=n$ $d(n)$因子个数 $\sigma(n)$因数和 $\mu (n)$莫比乌斯函数 $\varphi (n)$欧拉函数 2.狄利克雷卷积 $h(n)=\sum_{d|n}\space f(d)g(\frac{n}{d})$ $h=f*g$ 性质： 交换律$(f∗g=g∗f)$；
文献：DaSiamRPN: Zheng Zhu, Qiang Wang, Bo Li, Wu Wei, Junjie Yan, Weiming Hu."Distractor-aware Siamese Networks for Visual Object Tracking." ECCV (2018). [paper][github] 文章主要贡献 1.训练数据的扩充 加入Detection pair (ImageNet,COCO中做数据增广) negative simp
Longge's problem 求\(\sum_{i=1}^ngcd(i,n)\),\(n< 2^{31}\)。 解 理解1： 注意式子的实际意义，显然答案只可能在n的约数中，而现在问题变成了每个约数出现了几次,而一个约数d要出现的次数，自然需要这个数有约数d，其他的约数与之互斥，于是考虑欧拉函数，故我们有 \[ans=\sum_{d|n}\varphi(n/
Solving for geodesic is a classical problem in the calculus of variation. In Grassmann manifold, there exists relatively simple method of computing geodesics using the relatively simple method bsed on the SVD. 计算Grassmannian Geodesic: Given 2 points on gr
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568 求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} [gcd(i,j)==p]\) 一开始还以为要莫比乌斯反演. 推了半天不知道怎么求,遂看题解: $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} [gcd(i,j)==p] = \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{p}}\s
拉格朗日差值 最小树形图 二项式反演 BSGS 最小割树 虚树 boruvka \(1.0/1\)串也可以黑白染色。 \(2.\) 在平面图中，总是满足： \(V-E+F=1+C\)（\(F\)是面数，\(C\)是联通块数）。 \(3.S\bigcap T = \emptyset\Leftrightarrow S\subseteq \complement_uT\) \(4.\)差分表第\(0\)条对角线为\(c
洛谷 Codeforces 非常套路的一道题，很适合我在陷入低谷时提升信心…… 思路 显然我们需要大力推式子。 设\(p_{a_i}=i\)，则有 \[ \begin{align*} n(n-1)ans&=\sum_i \sum_j \varphi(ij)dis(p_i,p_j)\\ &=\sum_i \sum_j \frac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))} d
传送门 题面图片真是大到离谱…… 题目要求的是 \(\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^N i^d[gcd(i,n) == 1] &= \sum\limits_{i=1}^N i^d \sum\limits_{p \mid gcd(i,n)} \varphi(p) \\ &= \sum\limits_{p|n} \varphi(p) p^d \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{p}} i^d\end{a
题面 传送门 题解 拿到式子的第一步就是推倒 \[ \begin{align} \sum_{i=1}^nlcm(n,i) &=\sum_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}\\ &=n\sum_{i=1}^n\frac{i}{\gcd(n,i)}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{d}[\gcd(n,i)=d]\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\fra
\begin{Example}设$\Sigma$为上半椭球面$\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1\, ( z \geq 0 )$, $\pi$为$\Sigma$在点$P(x,y,z)$处的切平面, $\rho(x,y,z)$为原点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离,求$\iint _ { \Sigma } \frac { z } { \rho ( x ,
题面 Solution1: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^nijgcd(i,j) \\ =&\sum_{d=1}^dd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}ijd^2[\ gcd(i, j)=1\ ]\\ =&\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d
传送门 这题一眼看上去要解\(k^x \equiv 1(mod\ m)\)的最小正整数解。 于是我打了一个扩展BSGS 这题这样做算的答案一直是0的。不过有另一个定理欧拉定理，\(k^{\varphi(m)} \equiv 1 (mod\ m)\)。 首先我们要保证\(gcd(k,m) = 1\)，如果不互质的话那就是无解的。 因为有这样一句话：\(k^
唯一分解定理：任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 公式（\(p_i\)为质数）：\[n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}⋯p_k^{a_k}=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}\] 推广： 正质因数个数为\(\delta(n)=(1+a_1)(1+a_2)⋯(1+a_k)\) 它的全体正因数之和为\(\delta(n)=(1+p_1+p_1^2+⋯+p_1^{a_1})⋯(1+p_
题目 没有看懂题目呢说的是什么，但是我们要求的是这个式子 \[Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(gcd^2(i,j))\] 看起来挺鬼畜的是吧 老方法枚举\(gcd\) \[Ans=\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)f(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\] 其中 \[f(d)=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \fr
目录 同余 基本定理 欧拉定理 费马小定理 扩展欧拉定理 扩展欧几里得算法 同余 基本定理 欧拉定理 若a,m互质，则 \[ a^{\varphi\left ( m \right )}\equiv 1\left ( mod \ m \right ) \] 应用 令，，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以。计算：，而。与定理
什么是欧拉函数 记欧拉函数为\(\varphi(x)\)表示比\(x\)小且与\(x\)互质的数的个数。 怎么算欧拉函数 通项公式:\(\varphi(x)=x*\prod(1-\frac{1}{p_i})\) (\(p_i\)为\(x\)的质因数) 因为欧拉函数是一个积性函数，因此我们可以用欧拉筛(线性筛)在\(O(n)\)的时间内预处理出来：具体证明
