首页 > 其他分享> 文章详细

量子力学基础-1

2021-10-29 17:36:13 阅读：733 来源： 互联网

标签：lang rang psi dagger 量子力学 sum 基础 varphi

1. 狄拉克符号

1.1 基矢

$|0 \rang = \binom{1}{0}$ $|1\rang = \binom{0}{1}$

$\lang 0| = (1~0)$ $\lang 1| = (0~1)$

1.2 态矢

$| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle$

$\lang \psi| = |\psi \rang ^{\dagger} = \Big( \left(|\psi \rang \right)^* \Big)^T = \Big( \left(|\psi \rang \right)^T \Big)^* = a^* \lang0| + b^*\lang1|$

共轭，转置顺序可以互换.

2. 内积

$\lang \varphi | \psi \rang = \lang \varphi || \psi \rang = | \varphi \rang^ \dagger |\psi\rang$ ，也可以表示为 $( | \varphi \rang, |\psi \rang)$

内积的性质：

(1) $(\cdot~, \cdot)$ 对第二个变量是线性的，即
$(|v\rang, \sum_{i}\lambda_i|w_i\rang) = \sum_i \lambda_i(|v\rang, |w_i\rang)$
(2) $\lang \varphi| \psi \rang = \Big(\lang \psi| \varphi \rang \Big)^*$
推导如下：
$\lang \varphi | \psi \rang = \lang \varphi|| \psi \rang = | \varphi\rang^ \dagger |\psi\rang$
$\lang \psi| \varphi \rang = \lang \psi|| \varphi \rang = | \psi\rang^ \dagger |\varphi\rang$
$\Big(\lang \psi| \varphi \rang \Big)^* = \Big(| \psi\rang^ \dagger |\varphi\rang \Big)^* = |\psi\rang^T |\varphi\rang^* = (|\varphi\rang^*)^T |\psi\rang = | \varphi\rang^ \dagger |\psi\rang$.

(3) 内积非负，当且仅当$|v\rang=0$ 时取等号.
$\lang i|j \rang = \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1~~~i=j \\ 0~~~~i\neq j \end{matrix}\right.$

3. 算符

3.1 线性算符

$A(|a\rang+|b\rang) = A|a\rang+A|b\rang$

$A(z|a\rang = zA|a\rang$

3.2 特殊算符

恒等算符$I$ $I|a\rang = |a\rang$

零算符0 $0|a\rang = 0$

3.3 本征值和本征矢

$A|v\rang = \lambda|v\rang$ $|v\rang 是 A 的本征矢量，\lambda 是相应的本征值.$

如何求得本征值和本征矢量：

(1) $A|v\rang =\lambda|v\rang = \lambda I |v\rang (I是等同算符)$

(2) $(A-\lambda I）|v\rang = 0$

(3) $|A-\lambda I| = 0$，解得 $\lambda$，带入$(A-\lambda I）|v\rang = 0$，可求得 $|v\rang$.

3.4 对易关系

$[A, B] = AB-BA$，若$[A, B] = 0, 即 AB=BA，则称A与B是对易的.$

$\{A, B\} = AB+BA$，若${A, B} = 0, 即 AB=-BA，则称A与B是反对易的.$

3.5 厄米算符

$A = A^\dagger$，则$A$ 是厄米算符. （类似对称矩阵，$A=A^T$）

$(AB)^{\dagger} = B^{\dagger} A^\dagger$

推导：$(AB)^\dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{\dagger}A^\dagger$

厄米算符的本征值是实数.

3.6 外积算符

$态矢 |u\rang自身的外积是 |u\rang \lang u|$.

3.7 投影算符

设空间 $V$ 是$n$维， $|i\rang (i=1,2,\cdots, n)$ 是空间$V$ 的一组正交规一基，定义投影算符
$P=\sum_{1}^{m}|i\rang\lang i|~~~~(i=1,2,\cdots,m),~~m\leq n$
各个 $|i\rang~(i=1,2,\cdots,m)$ 构成 $V$ 的子空间 $M$. 投影算符$P$作用于空间V中的任一态矢$|w\rang$相当于求取$|w\rang$ 在子空间 $M$ 中的分量. 显然，
(1). 当 $m =n$时，子空间$M$亦即原来的空间 $V$. $V$ 中任何态矢 $|w\rang$ 在 $V$中的投影显然就是 $|w\rang$ 本身，故
$\sum_1^n |i\rang\lang i|w\rang = |w\rang$
$\sum_1^n |i\rang\lang i | = I$, $I$ 是$n$ 阶等同算符.

(2). 当 $m<n$ 时，$|w \rang$ 是空间 $V$ 中的任意态矢，$P|w \rang = \sum_1^m|i\rang \lang i|w\rang = |v\rang$ 是在 $M$中， $|v\rang$ 在$M$ 中的投影是 $|v\rang$ 自身, 故
$\left\{\begin{matrix} P(P|w\rang)= P|w\rang = |v\rang \\ P=P^2=P^3= \cdots \end{matrix}\right.$

3.8 对角化及谱分解

$A=\sum \lambda_i |i\rang \lang i | (i = 1,2, \cdots, n) = O = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$

其中，$\lambda_i$ 是本征值，$|i\rang$ 是对应的本征向量.

算符 $A$ 能够对角化的充要条件是 $A$ 是一个正规算符(normal operator)，即 $AA^\dagger = A^{\dagger}A$.
$A 能够对角化 \Longleftrightarrow AA^\dagger = A^{\dagger}A$

3.9 幺正算符

幺正算符，也叫酉算符. $U^\dagger = U^{-1}$，即 $U^{\dagger}U = I$. (类似正交矩阵 $AA^T = I$，$A^T = A^{-1}$)

幺正算符的性质：

(1) 空间中任意两个矢量经幺正变换后内积保持不变.

推导如下：

变换前的两个矢量，$|s\rang$ 和$|t\rang$，其内积为$\lang s|t \rang$.

以幺正算符作用于$|s\rang$ 和$|t\rang$ 后，$U|s\rang$ 和$U|t\rang$，其内积为 $\Big(U|s\rang, U|t\rang \Big) = \lang s|U^{\dagger} U|t\rang = \lang s|I|t\rang = \lang s|(I|t\rang) = \lang s|t\rang$.

(2) 正交规一基经过幺正变换后变为另一组正交归一基.

设$|u_i\rang(i=1,2,\cdots,n)$ 是一组正交规一基，$U$ 是幺正变换，$U|u_i\rang = |w_i\rang$，可得
$\lang w_i|w_j \rang = \lang u_i| U^\dagger U | u_j \rang = \lang u_i | u_j \rang = \delta_{ij}$
反之，若 $|u_i\rang$ 和 $|w_i\rang$ 是两组归一正交基，则它们之间的变换是幺正变换. 即，$A|u_i\rang = |w_i\rang$, A是幺正变换.

推导如下：

假设 $A|u_i\rang = |w_i \rang$，证明 $A$ 是幺正算符.

$A^\dagger = \sum_i |u_i\rang \lang w_i|$

$A^{\dagger}A = \sum_i |u_i\rang \lang w_i| \sum_j |w_j \rang \lang u_j| = \sum_i \sum_j |u_i\rang \lang w_i|w_j \rang \lang u_j| = \sum_i |u_i\rang \lang u_i| = I$.

上式中 $I $ 是恒等算符，故 $A$ 是幺正算符.

(3) 幺正算符的本征值都以1为模数，亦即可表示为$e^{i\theta}$， $\theta$ 是个实数.

3.10 泡利算符

$\sigma_0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\sigma_ 1= \sigma_x = X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2= \sigma_y = Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ $\sigma_3= \sigma_z = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

泡利算符既是厄米算符，又是幺正算符，即$\sigma = \sigma^\dagger = \sigma^{-1}$.

标签：lang,rang,psi,dagger,量子力学,sum,基础,varphi
来源： https://www.cnblogs.com/one2Four/p/15478632.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9