链同伦 对于链复形 \[A \xrightarrow{d} B \xrightarrow{\partial} C \]其同调群定义为\(H = \ker \partial / \text{im} d\)。那么对于两个链复形而言，什么时候其同调群是同构的呢？我们想起了奇异同调中的定理： 如果\(X\)与\(Y\)是同伦等价的，那么其奇异同调群满足\(H_n(X) \cong H_
给定有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）$G = (V, E)$，以及源点集$S = \{ s_1, s_2, \dots, s_n \}$，汇点集$T = \{ t_1, t_2, \dots, t_n \}$。每一条边$(x, y)$都有一个权值$w(x, y)$。我们定义一条路径$\pi: x_0 \to x_1 \to \dots \to x_k$的权值为： $$ w(\pi) = \prod_{i=1}^
P3857 [TJOI2008]彩灯 前置知识：『模板』线性基 ，线性基初步 线性基求张成出的子空间元素个数。 首先细读题目，我们发现对于每一盏被控制的灯，按下一次开关的操作相当于对其状态异或 \(1\)。我们可以考虑将问题转化成有 \(m\) 个非负整数 ，我们选取其中几个异或起来，求它们的方案数。异
证明不存在 \(01\) 方阵 \(A\) 使得： \(A^TA=\begin{pmatrix}7&2&\dots &2\\2&7&\dots&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 2&2&\dots&7\end{pmatrix}_{22\times22}\) 证明： 若 \(\exists A\) 满足上述条件。 \(\bec
秦九韶算法 对于式子 \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x^1 + a_0\), 可以变形为 \((\dots((a_nx+a_{n-1})x+\dots + a_1)x + a_0\) 具体证明 做法 枚举 \([1,m]\) 中的所有数作为 \(x\) 带入式子中利用秦九韶算法算出结果，看结果是否为 \(0\) 。 对于系数 \(a_i\) 的输入，可
就先定个小目标每天写他个三题（x），但最近还是有点累，大概就还是写点简单的题（Div2里ABCD差不多，EF这种过段时间如果状态好点补上） https://www.luogu.com.cn/problem/P2260求\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n\bmod i)(m\bmod j),(i\neq j),n,m\leq 10^9\end{aligned}\)取
题面 已知： $a,b,c \in \mathbb{R} $ 求证 ：$a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3} $ 法一 考虑数形结合。 前置知识 平面 \(\alpha : Ax+By+Cz+D=0\) 球：\(\left ( x-a \right ) ^2+\left ( y-b \right ) ^2+\left ( z-c \right ) ^2=R^2\) 点 $\l
题目链接 题链 题解 区间众数的个数 \(>\) 区间长度一半 称这个区间有主元素，主元素就是这个众数； 题意：求数组中有多少个区间有主元素; 考虑一个子问题：每一种数作为主元素的贡献； 例如给定数组 \(p = [3,2,1,3,3,2]\)，并考虑 \(3\) 作为主元素的贡献； 我们可以将是数字 \(3\) 的记为 \(
目录题目题目描述输入格式输出格式输入输出样例题目分析状态转移方程初始状态结束状态Code 题目 题目描述 设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作共有三种： 1、删除一个字符； 2、插入一个字符； 3、将一个字符改为另一个字符； ！皆
1.集合的表示 枚举法 \mathbf{A}=\{{0},{1},{2},{3},{4},{5},{6},7,8,9\} \mathbf{N}=\{0,1,3,\dots\} \mathbf{\Omega}=\{\textrm{a},\textrm{b},\dots,\textrm{z}\} 枚举法简记 \mathbf{X}=\{x_i\}_{i=1}^n=\{x_1,x_2,\dots,x_n\} 谓词发 奇数的集合表
Unity推出的DOTS技术，通过ECS架构来提高CPU的缓冲命中率，Job System提供方便的多线程代码编写，Burst Compiler编译生成高性能代码。 下面我们分别用普通的方式和DOTS的方式来实现10000个运动的Cube同屏渲染的例子来看下其性能区别。 普通方式 1. 先创建OPPMoveScript.cs来实现Cube的
赛时通过 \(\text{A,B,C,D}\)，排名 \(255\)。 A 略。 B 绝了，我被这题卡了 \(40\) 分钟。。。 考虑所有能被表示出来的数一定是这样的：\(a^m+k_1ba^m+k_2ba^{m-1}+\dots +k_mb(k_i,m\in \mathbb{N^+})\)。枚举 \(m\)，并判断 \(n-a^m\) 能否被 \(b\) 整除即可。 C 可以发现 \(f(i)\) 不
多次询问区间本质不同子序列数，强制在线。\(n,q\leqslant 10^6\)，\(\Sigma=\{0,1,\dots,25\}\)。 设 \(m=|\Sigma|\)。 考虑每次询问朴素 dp，根据贪心我们在每一个子序列第一次出现的地方计算贡献，设 \(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 个字符，最后一个字母是 \(j\) 的子序列的方案数，特殊的让 \(
给定 \(a,P\)，\(P\) 是质数，设 \(g\) 为 \(P\) 的原根，求出 \(g^x\equiv a\mod P\) Pohlig–Hellman algorithm 对 \(P-1\) 唯一分解，设为 \(\prod p_i^{e_i}\)，对每个 \(p_i^{e_i}\) 解出： \[g^{x_i\Big(\frac{p-1}{p_i^{e_i}}\Big)}\equiv a \]那么有 \(x \equiv x_i\mod p_
前几天氪了本《具体数学》，感觉开了个天坑qwq，现在已经看了一些了，里面一些很有意思的性质，稍微纪录一下吧。 以后争取每天能看一点，当然不一定是按顺序看。 第1章 递归问题 1.1河内塔 $n$个盘子的汉诺塔问题需要移动$2^n - 1$次 1.2平面上的直线 $n$条直线最多能将平面划分为$\frac
孙子定理 孙子定理，又称之为中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）可以求解如下形式的一元线性同余方程组（其中\(n_1,n_2,\dots,n_k\)两两互质）。 \[\begin{cases} x\equiv a_1(mod\:n_1)\\ x\equiv a_2(mod\:n_2)\\ \quad\quad \vdots \\ x\equiv a_k(mod\:n_k)\\ \end{cases}
1.1 Unity DOTS Unity DOTS是Unity官方基于ECS架构开发的一套包含Burst Complier技术和JobSystem技术面向数据的技术栈，它旨在充分利用SIMD，多线程操作充分发挥ECS的优势。 1.2 什么是ECS ECS即实体（Entity），组件（Component），系统（System）。 Entities：实体，这里只是一个索引，目的是给数据打包
约数 什么是约数 约数，又称之为因数。整数\(a\)除以整数\(b(b!=0)\)除得的商正好是整数而没有余数。我们就说\(a\)能被\(b\)整除，或\(b\)能整除\(a\)。\(a\)称为\(b\)的倍数，\(b\)称为\(a\)的约数。 如何求约数 我们都知道，每一个合数都可以写成几个素质相乘的形式，其中每个素数都是这
CF1268D - Invertation in Tournament 给定 \(n\) 个点的竞赛图，每次操作可以反转一个点的所有边的方向，问最少操作多少次使得图强连通。\(n\leqslant 2000\)。 考虑一些性质。 引理：对于 \(n\geqslant 4\) 的强连通竞赛图，存在 \(n-1\) 阶子强连通竞赛图。 证明：考虑任意拎出一个点，不
参考资料： https://www.luogu.com.cn/blog/Karry5307/eulerian-numbers https://www.cnblogs.com/mengnan/p/9307521.html 欧拉数：\(\langle\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\rangle\)（为了方便编辑记作\(E(n,k)\)），表示：有多少个长度为\(n\)的排列\(p\)，满足\(\sum_i [p_i<p_{i+1}]=k
线性代数是个有趣的东西。 过于基础的定义（例如矩阵运算等）不会提及。 I.基于行变换的线性代数 I.I.高斯消元、行变换与线性方程组 高斯消元是一切线代科技的基础。 高斯消元，是指通过以下三种变换： 倍加变换，即将一行的一定倍数加到另一行上 对换变换，即交换两行 倍乘变化，即将某一行中
组合数学 2.2 - 多重集的排列 定义 2.2.1：有 \(n_1\) 个 \(a_1\)，\(n_2\) 个 \(a_2\)，\(\dots\)，\(n_k\) 个 \(a_k\) 组成的集合记为 \(M=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k\}\) 称为多重集。\(M\) 的总元素个数为 \(\sum\limits_{i=1}^k n_i\)。 定义 2.2.2：设 \(M=\{n_
文章目录 前言一、组合分析排列组合 前言 概率论基础教程系列是我在阅读Sheldon M.Ross的概率论基础教程时候的笔记和一些个人学习总结，在此记录方便后续复习。 一、组合分析 排列 计数基本法则： 有两个实验，其中实验1有m种可能发生的结果，对应于实验1的每一个可能发生的结
五次以上方程无求根公式的证明框架 一般方程 f ( x ) = x
似然函数与极大似然估计 标签（空格分隔）： ML 似然函数 随机变量 X X X的概率分布已知，但是这个分布的参数是未知的，需要我们去估计，我们把他记作 θ
