标签：dots sum 个数 学习 相邻 通项 binom 欧拉 小记
参考资料：
https://www.luogu.com.cn/blog/Karry5307/eulerian-numbers
https://www.cnblogs.com/mengnan/p/9307521.html
欧拉数：\(\langle\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\rangle\)（为了方便编辑记作\(E(n,k)\)），表示：有多少个长度为\(n\)的排列\(p\)，满足\(\sum_i [p_i<p_{i+1}]=k\)，即相邻上升个数为\(k\)。
【一些性质】
递推式：\(E(n,k)=(k+1)E(n-1,k)+(n-k-1)E(n-1,k-1)\)
考虑从\(n-1\)转移到\(n\)，新增的\(n\)插到哪里：
- \(n\)插到末尾，相邻上升个数加一。
- \(n\)插到开头，相邻上升个数不变。
- \(n\)插到原来\(p_i<p_{i+1}\)的之间，相邻上升个数不变。
- \(n\)插到原来\(p_i>p_{i+1}\)的之间，相邻上升个数加一。
综合起来可得递推式。
对称性：\(E(n,k)=E(n,n-k-1)\)（如果\(n>0\)）
显然任意排列\(\{p_i\}\)与\(\{n-p_{i}+1\}\)一一对应，而且两者相邻上升个数总和为\(n-1\)。
通项1：\(E(n,k)=\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}(n-i)!S(n,n-i)\)。其中\(S\)为第二类斯特林数。
考虑相邻上升个数至少为\(k\)如何计算，记为\(F(n,k)\)。也就是把\(n\)个数分成\(n-k\)个集合，对这\(n-k\)个集合进行排列。同一个集合的连在一起，并且排好序。于是\(F(n,k)=(n-i)!S(n,n-i)\)。
由于\(F(n,k)=\sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k}E(n,k)\)，反演得\(E(n,k)=\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}F(n,i)\)。
通项2：\(E(n,k)=(-1)^{n-k}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^ii^n\binom{n+1}{k+i+1}\)
在通项1中，代入第二类斯特林数通项\(S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}i^n\)。
通过一些基础的组合数技巧可以得到通项2。
通项3：\(E(n,k)=\sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^n\binom{n+1}{i}\)
由于\(E(n,k)=E(n,n-k-1)\)，把\(E(n,n-k-1)\)代入通项2得到\(E(n,k)=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i(k+1-i)^n\binom{n+1}{i}\)
如果\(n>0\)，则枚举边界\(0\dots k+1\)可以改为\(0\dots k\)。
如果\(n=0\)，不满足对称性。不过这时候发现把枚举边界\(0\dots k+1\)改为\(0\dots k\)恰好为正确答案。
所以\(E(n,k)=\sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^n\binom{n+1}{i}\)
【Worpitzky 恒等式】：\(x^n=\sum_kE(n,k)\binom{x+k}{n}\)。
首先有\(x\binom{x+k}{n}=(k+1)\binom{x+k}{n+1}+(n-k)\binom{x+k+1}{n+1}\)。展开即可证明。
现在证明\(xx^n=\sum_kE(n,k)x\binom{x+k}{n}\)等于\(x^{n+1}=\sum_{k}E(n+1,k)\binom{x+k}{n+1}\)。
左边展开\(x\binom{x+k}{n}\)，右边展开\(E(n+1,k)\)，化一下式子即可证明。
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