定义
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\(\varphi(n)\)
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表示小于等于 \(n\) 的和 \(n\) 互质的数的个数
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比如 \(\varphi(1)=1\)
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当\(n\) 为质数时 \(\varphi(n)=n-1\)
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\(\varphi(n)=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}),\gcd(p_i,n)=1\) ，这可以用性质 1 和 3 来证
欧拉函数的一些性质
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欧拉函数是积性函数，特殊的 \(\varphi(2n)=\varphi(n)\)
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\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)
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若 \(n=p^k\) ，\(p\) 为质数，那么 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)
欧拉定理
- 若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv1 \pmod m\)
扩展欧拉定理
\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\space mod \space \varphi(p)} &\gcd(a,p)=1\\ a^b & \gcd(a,p)\ne1,b<\varphi(p)\\ a^{b\space mod\space \varphi(p)+\varphi(p)} &\gcd(a,p)\ne1,b\geq \varphi(p) \end{cases} \space \pmod p \]常用的反演形式
- \(\gcd(x,y)=\sum_{i|x}\sum_{i|y}\varphi(i)\)
标签：函数,sum,varphi,质数,欧拉,gcd 来源： https://www.cnblogs.com/kzos/p/16341360.html
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