几何基元 对于2D的点，同城我们可以用一对数值来表示，\(x=(x,y)\),或者以另一种形式： \[x=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] \]但对于使用笛卡尔标系情况下，并不能表示无穷远的点，对于无穷远的点坐标为\((\infty,\infty)\),没有办法表示，所以需要采用齐次坐标系表示。
现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。 6.1 收敛及极限的算律 我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对有理数定义转为对实数定义。 定义 6.1.1（距离）：定义两个实数 \(x\) 和 \(y\) 的距离为 \(|x-y|\)，记作 \(d(x,y)
回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 \(\mathbb N\)、整数系 \(\mathbb Z\) 和有理数系 \(\mathbb Q\)。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。 实数无法用有理数来
1 第一章习题 1.1 第一次作业 1.1.1 两个随机变量的函数的概率密度求解 法1：先求解概率分布函数，再由分布函数求导得到概率密度。 例题：已知随机变量\(X\)服从参数为1的指数分布，求\(Y = \sqrt{2X}\)的概率密度函数。 解答：由题意知，随机变量\(X\)的概率密度为： \[f(x) = \begin{cases
1.考虑用无穷序列的趋近表达实数 1.1 趋近于 \(\bf 0\) 比如，\(\dfrac 11,\dfrac 12,\dfrac 13,\dots \to 0\)（图为 \(y=\dfrac 1{\lfloor 20x\rfloor}\)） 这个序列趋近 \(0\)，我们应该给一个定义了。有时候我们会说这个序列的最后一项是 无穷小量 \(\boldsymbol \varepsilon\)，他小于
计算圆周率，最简单的是莱布尼茨公式： \[\begin{align} \arcsin x &= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdot \cdot \cdot \\ 代入x=1得：\frac{\pi}{4} &=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{i}}{2i+1}} \end{align} \]但这个公式很慢，一秒内只能计算20位左右，于是我们要更强的公式：Chudnovs
目录dijkstra算法一、 简介1、 概念二、 实现原理1、 动图演示2、 思路解析三、 代码实现1、 构建矩阵2、 算法实现 dijkstra算法 一、 简介 1、 概念 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外
数列的极限 本文为基于 “《机器学习的数学》- 第1章 一元函数微积分 - 1.1 极限与连续 - 1.1.2 数列的极限” 的学习笔记 知识脉络梳理： 给出数列极限的定义： 直观理解 \(\epsilon\)定义 数列极限的四则运算 证明数列极限存在： 用定义证明 单调收敛定理 夹逼定理 一、数列极
\[对于数列 x_{n},\\若当n无限增大时，通项x_{n}无限接近于某个常数a，则称常数a为数列x_{n}的极限，或称数列x_{n}收敛于a. \]\[记为: \lim_{n \to \infty}x_{n}=a \\或 x_{n}\to (n\to \infty) \]\[若这样的常数a不存在，就说明数列x_{n}没有极限,或者说数列x_{n}是发散的， \]\[习惯上表
原文地址 slides GitHub 代码 本文发表于 2021 ICML，提出了一个新颖的神经网络计算方式：对于网络中的每个神经元，不采用传统的线性转换+非线性激活函数的方式，而是计算输入与参数之间的 \(\ell_{\infty}\)-distance，作者将其称为 \(\ell_{\infty}\)-dist net，网络中的神经元称为 \(\ell_
\(设函数f(x)在\)\(x=0处连续\)，\(并且lim_{x \to 0}{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}=A\),\(求证:f^{'}(0)存在，且\)\(f^{'}(0)=A。\) \(因为\) \[lim_{x \to 0}{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}=A \] \(所以对任意\epsilon ，存在\delta,使得当x\in (-\delta,\delta)时，\) \[A-
从傅里叶级数（Fourier series）到离散傅里叶变换（Discrete Fourier transform） 一. 傅里叶级数（FS） 首先从最直观的开始，我们有一个信号\(x(t)\)（满足Dirichelet条件），先假设它是周期的，为了研究它，我们使用级数将之展开，展开方法如下 \[x(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_ke^{jkw_0t}\tag{1} \]现在问
随机选了四道 2100~2400 的题，做出来了前三道。 A - CF1399E2 因为每次操作一定会有一个 \(w_i\) 减半，所以至多进行 \(n\log V\) 次操作。对于每个操作，我们都可以算出它的收益。因为操作的代价只可能是 \(1\) 或 \(2\)，将操作按照收益排序后，枚举选多少个代价为 \(2\) 的操作，然后双指
\(ARMA(1, ~ 1)\) process is a time series \(\left\{ X_{t} \right\}\) defined as: \[X_{t} - \phi X_{t-1} = Z_{t} + \theta Z_{t-1} \]where \(|\phi| < 1\) and \(\left\{ Z_{t} \right\} \sim WN(0, ~ \sigma^{2})\)。 它的 ACVF (autocovari
\begin{equation} F(x)=\int_0^t\sin(t)\mathrm{d}\,t+\left[\lim_{x\rightarrow0}g(x)\times\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{\Gamma(m+{\color{red}α}+1)}\right] \end{equation} \begin{equation} T_B^A \\ = T_G^AT_B^G \\= (T_A^i)^{-1}T_B^i
Basic iterative method(BIM):论文地址 笔记地址 Projected gradient descent(PGD):论文地址 笔记地址 区别1 来自于：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S209580991930503X 1）BIM 将一步的FGSM直接扩展为多步方法： \[x'_{t+1}=Clip_{x, \epsilon} \{x'_{t}+\alpha\;
公式大纲 比较各个级数的相似性，找到记忆规律。（和z一起记会有很多便捷的地方！） 公式 连续 离散 CTFT↓,非周期,连续 DTFT↓ ，周期,连续(PS，z变换所有就是把这里\(z=e^{j\omega}\)) 傅里叶变换 \(X(j\Omega)=\int_Rx(t)e^{-j\Omega t}dt\) \(X(e^{j\omega})=\sum_{-\infty}
(二次型不等式)设$n$为正整数, $c_1,c_2,\cdots,c_n$是复数,满足$\sum_{j=1}^{n}c_j=0$, $x_1,x_2,\cdots,x_n$是实数.证明:$$\sum_{j,k=1}^n{c_j\overline{c_k}\left| x_j-x_k \right|}\leqslant 0.$$ 证明.利用$$\int_0^{+\infty}{\frac{1-\cos \left( at \right)}{t^2}dt}=\lef
初等函数 1 常值函数 常值函数 \(y=c\) ，定义域为 \((- \infty,+\infty)\) ，值域为单点集 \(\{c\}\) 它的图像时平行于 \(x\) 轴的直线 2 幂函数 幂函数 \(y = x^{\mu}(\mu 是常数)\) ，其定义域随着 \(\mu\) 不同而不同，图像也随着\(\mu\) 的不同而有不用的形状。 常用的幂函数有以下
集合 1 基本概念 1.1 定义 把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合，集合一般用大写字母A B C ……表示 1.2 元素 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，一般用a b c ……表示 (确定性，互异性，无序性) 1.3 元素和集合的关系 若 \(a\) 是集合 \(A\) 中的元素，记作 \(a \in A\)
1.期望 定义 \[E(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k-离散型 \]\[E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx-连续型 \]性质 \(E(C)=C,C是常数\) \(E(CX)=CE(X),C是常数\) \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) \(若X,Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)\) 2.方差 定义 \[D(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}
时域混叠和频域混叠 含义 混叠（英语：Aliasing），在信号频谱上可称作叠频；在影像上可称作叠影，主要来自于对连续时间信号作取样以数字化时，取样频率低于两倍奈奎斯特频率。 如上图，以相同的采样周期对一个高频信号和低频信号进行采样，采出的数字序列相同，此时发生混叠。 解释一下奈奎斯特频率
记录 Poincaré 引理证明的想法（尤其是链同伦的构造）——follow 的是 Bott-Tu 的书 Differential Forms in Algebraic Topolgy (GTM82)。 (目前只写了紧支上同调的 Poincaré 引理，待更新...) 目录Proof of the Poincaré Lemma for Compactly Supported Cohomology: \(H_c^{*+1}(M\t
Ch 04 - 调制与抽样 信号失真 不失真条件 系统对所有子信号的幅度放大或衰减的倍数相同 系统对所有子信号延时相同 相当于满足 \[y(t)=Kx(t-t_0) \\ \Rightarrow Y(\Omega)=KX(\Omega){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0} \\ \Rightarrow H(\Omega)=K{\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0} \]
1. 若\(a_nA\ge0\)，则有： \[||a_n|-|A||=|a_n-A| \]可得， \[\lim_{n\to+\infty}a_n=A \Leftrightarrow \lim_{n\to +\infty}|a_n|=|A| \]2. 泰勒公式的本质是无穷小的替换，所以当出现无穷大的值的时候，就不能够用了。只能使用洛必达法则。 比如说习题1.3.1。 3. 通过定义求极限的过程，最
