标签：03 指数函数 frac 函数 infty aM times 初等 log
初等函数
1 常值函数
常值函数 \(y=c\) ，定义域为 \((- \infty,+\infty)\) ，值域为单点集 \(\{c\}\)
它的图像时平行于 \(x\) 轴的直线
2 幂函数
幂函数 \(y = x^{\mu}(\mu 是常数)\) ，其定义域随着 \(\mu\) 不同而不同，图像也随着\(\mu\) 的不同而有不用的形状。
常用的幂函数有以下几个\((\mu = 1,\frac{1}{2},-1,2,3)\)，熟记图像
\(y = x ^{-1}\) 反比例函数
3 指数函数
3.1 基本概念
正整数指数幂
\(a^n\) 表示 \(n\) 个 \(a\) 连乘
零指数幂
\(a^0 = 1(a \neq 0)\)
任何数的0次方都等于1
负整数指数幂
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}(a \neq 0,n \in N)\)
正分数指数幂
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}(a \geq 0,m、n\in N且n>1,m、n互质)\)
3.2 幂的运算法则
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
\((a^m)^n = a^{m\times n}\)
\((ab)^n = a^n \times b^n\)
\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} = a^n \times b^{-n}\)
3.3 定义
指数函数 \(y = a^x(a>0,a \neq 1)\)，定义域为 \((-\infty,+\infty)\)，值域为 \((0,+\infty)\)
当 \(a >1\) 时，指数函数 \(y=a^x\) 是单调递增函数
当 \(0< a < 1\) 时，指数函数 \(y=a^x\) 是单调递减函数
$ a<0 $ 时，指数函数没有实在意义，因为一个 \(x\) 值可能存在两个 \(y\) 值，不构成函数
常用的指数函数有 \(y = e^x,y = 2^x,y=10^x\)
4 对数函数
4.1 基本概念
对数定义
如果 \(a^b = N(a >0 且a \neq 1)\)，那么 \(b\) 叫做以 \(N\) 为底的对数，记作 \(\log_aN = b\) ，其中 \(a\) 叫做底数，\(N\) 叫做真数。
4.2 性质
\(\log_aa = 1,a^1 = a\)
\(\log_a1 = 0,a^0 = 1\)
0和负数无对数
\(a^{\log_aN} = N\) -> \(log_aN = k,a^k = N,a^{\log_aN} = N\)
\(log_aN = log_aN \Rightarrow a^{\log_aN} = N\)
将上面右变的值记作k，则
\(\log_aN = k\)
那么 \(a^k = N\) ，则 \(a^{log_aN} = N\)
4.3 运算法则
-
\(\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN\)
\(\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN\) 两边都变成指数形式，在进一步换算
\(a^{log_a(M \times N)} = a^{log_aM + log_aN}\) 因为指数相等，所以再加个相同底数也相等
\(M \times N = a^{log_aM} \times a^{log_aN}\) 指数相乘时，底数相同，指数相加的反推
\(M \times N = M \times N\)
这是 \(M \times N\) 推导出来的
可以通过 \(M \times N\) 推出两种不同的式子
一种 \(M \times N\) 当真数
一种 \(M\) 当真数乘以 \(N\) 当真数形式 -
\(\log_a(\frac{M}{N}) = \log_aM - \log_aN\)
上述相同，也是利用指数计算的性质
-
\(\log_aM^n = n \times \log_aM\)
这里证明用到的是 \(a^{m \times n} = (a^m)^n\)
\(a^{log_aM^n} = a^{n \times log_aM} = (a^{log_aM})^n = M^n\)
换底公式没有讲 \(\log_aN = \frac{log_bN}{log_ba}\)
4.4 对数函数定义
对数函数 \(y = log_ax (a>0,a\neq1)\)，它是指数函数 \(y = a^x\) 的反函数，它的定义域为 \((0,+ \infty)\)，值域为 \((- \infty,+\infty)\)
当 \(a >1\) 时，对数函数 \(y = \log_ax\) 是单调递增函数。
当 \(0<a<1\) 时，对数函数 \(y=\log_ax\) 是单调递减函数
常用的对数函数有 \(y = \ln x,y = \log_2x,y=\log_{10}x\)
5 三角函数
6 反三角函数
标签：03,指数函数,frac,函数,infty,aM,times,初等,log 来源： https://www.cnblogs.com/hsbt2333/p/16368948.html
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