1.排列组合 定义\(P^m_n=\displaystyle\frac{n!}{(n-m)!}\) \(C^m_n=\displaystyle\frac{n!}{(n-m)!m!}\) 二项式定理： \((x+y)^n=\displaystyle\sum^{n}_{i=0}=x^iy^{n-i}\times C^i_n\) Lucas定理 \(C_n^m\equiv(C^{m/p}_{n/p})(C^{m\bmod p}_{n\bmod p})(\bmod p)\)
题意 给定长度为 \(n\) 的数列 \(a\)。 定义 \(p_k = \sum_{1 \le i, j \le k} a_i \bmod a_j\)。你需要输出 \(p_1,p_2,\ldots,p_n\)。 \(2\le n\le 10^5\)，\(1\le a_i\le 3\times 10^5\)，保证 \(a\) 中的元素互不相同。 初步解法 首先看一眼应该能想到显然的 \(O(n\sqrt n\log n)
目录题意从数据入手 题意 数一个 \(n\) 个点图的子连通块数，对 \(2\) 取模。即，#（选一个点集的子集，使得它连通）。空集不算。 \(n\le 50\)。对于边 \(u,v\)，\(|v-u|\le 13\) 从数据入手 首先这个对 \(2\) 取模一看就性质很好，它有啥性质呢？ 这个 \(|v-u|\le 13\) 似乎也有着一些性质：一个点
Problem 给一个长度为\(n\)的序列，求最长连续子序列，满足子序列和是7的倍数。\(n \le 50000\)。 Solution 不难发现先将每个\(a_i \bmod 7\)，随后前缀和，令\(q_i = \sum_{j = 1}^i a_j\)。再将\(q_i \bmod 7\)。题目转变为求一个二元组\((i,j)\)，使得\(q_j - q{i - 1}\)是0且\(j - i +
当出现类似给定 \(a_1,a_2,\dots,a_n\),求满足 \(\sum_{i=1}^na_ix_i=b\) 有整数解的 \(b\) 的个数的问题时，一般采用同余最短路的方法。 上类题型的转移方程大多都是 \(f_{i+x}=f_i+x\)，而它与单源最短路中的 \(dis_v=dis_i+edge_{u,v}\)类似，因此我们可以由此来建边。 与差分约束有
数论学习笔记 记录的侧重点为一些个人认为需要证明的性质定理，所以概念可能不成体系且跳跃 P:质数集 取模 取模的定义： \(a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\) 但是注意c++的%的除法并不是向下取整，而是向零取整，这就会导致负数取模完还是负数，如： -6%5=-6-(-6/5)*5=-1
1. 组合数取模 求 \(\dbinom nm\bmod p\) 1. \(n,m\le 200\)，\(p\) 任意 递推 2. \(n,m\le 10^6\)，\(p\ge 10^9\) 素数 预处理 \(n!\)，\(m!^{-1}\)，\((n-m)!^{-1}\) 即可 . 3. \(n,m\le 10^6\)，\(p\le 2000\) 素数 注意到 \(n\) 可能是 \(p\) 的倍数，故逆元可能不存在 . 引入 Lucas 定
目录I. 基础知识1. 带余除法（小学）1. 定义2. 性质2. 最大公约数（gcd）/ 最小公倍数（lcm)II. 矩阵及其应用1. 定义 I. 基础知识 1. 带余除法（小学） 1. 定义 对于整数 \(a,b\)，若有 \(q,r\) 满足： \[a=bq+r \]其中 \(0\le r<b\)，那么 \(r\) 称作 \(a\) 模 \(b\) 的 余数，记作 \(a\bmod b\) . 顺
传送门 容易发现长度为 \(k\) 的话，相邻元素之差不小于 \(k\)，那么答案下界为最小相邻元素之差 \(k\)。 考虑构造方案，因为 \(a_i = \sum_{j = 1}^k b_{j,i}\)，尽量平均分配。 于是令 \(b_{j,i} = \lfloor\frac{a_i + j - 1}{k}\rfloor\)，容易发现 \(j > k - a_i\bmod k\) 时会多 \(1\)
转： 数论之神 数论之神 求解方程(x^Aequiv B(bmod 2k+1))的解的个数 首先由于模数不是质数，所以我们先考虑拆分成质数的幂次形式，然后分别求解，可以发现根据CRT的性质，对于两两互质的模数，我们构成的剩余系和原来的数形成双射，所以所有解得个数等于每个方程解的个数的乘积。 问题转化为(x
Taylor 展开 对于一个函数\(f(x),\)如果我们知道它在\(x_0\)处的各阶导数，那么： \[f(x)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)(x-x0)^i}{i!} \]即 我们在\(x_0\)处逼近了\(f(x).\) 牛顿迭代 考虑求： \[G(F(x))\equiv 0(\bmod x^n) \]对于\(n=1\)特殊求出来 考虑已经解决了： \[G(F_0(x))\eq
最大公约数详解 一般的，设 \(a_1,a_2,...a_n\) ，是 \(n\) 个非零整数，如果存在一个非零整数 \(d\), 使得 \(d\mid a_1,d\mid a_2,...d\mid a_n\) ，那么称 \(d\) 是这 \(n\) 个数的公约数。显然可能存在多个公约数，将这些公约数中最大的一个记为 \(\gcd(a_1,a_2,...a_n)\) ，即最大公约数
一些定理 裴蜀定理 若关于 \(x,y\) 的不定方程 \(ax+by=c\) 有解（\(a,b,c \in \mathbf{Z}\)），则 \(c \bmod \gcd(a,b) =0\) 。 费马小定理 若 \(p\) 为质数，且 \(\gcd(a,p)=1\) ，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) 。 欧拉定理 若 \(\gcd(a,m)=1\) ,则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod
CF1034C Region Separation 题目大意 题目链接 给定一棵 \(n\) 个点的树。每个点有权值，记为 \(a_{1\dots n}\)。 你想砍树。你可以砍任意轮，每轮你选择一些边（至少一条）断开，需要满足每轮结束后每个连通块的权值和是相等的。 求有多少种砍树方案。两种方案不同，当且仅当轮数不同或者某
Description 询问 \(1 \leq a \leq x\) ，\(1\leq b \leq y\) ，且满足 \(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor =a\bmod b\) 的有序对 \((a,b)\) 有多少对。 Sol 先用 \(b\) 把 \(a\) 表示出来，有 \[a=b\times\lfloor \frac{a}{b}\rfloor + a\bmod b \]记 \(\lfloor \frac{a}{b}
目录模奇素数 p模奇素数幂 p^k(k>1)模 2^k高次剩余？ 传统的 cipolla 算法很精巧 但是我背不到 但是不好拓展到模任意数的情况。 事实上我现在都还不清楚，对于 \(k > 1\)，环 \(R(Z_{p^k},+,\times)\) 到底有什么特殊性质。 首先它不是整环，然而就我所看的抽代教材中只讨论了整环的特
题目描述 小B 所在的城市的道路构成了一个方形网格，它的西南角为(0,0)，东北角为(N,M)。 小B 家住在西南角，学校在东北角。现在有T 个路口进行施工，小B 不能通过这些路口。小B 喜欢走最短的路径到达目的地，因此他每天上学时都只会向东或北行走；而小B又喜欢走不同的路径，因此他问你按照他走
题目 题目链接：https://codeforces.com/contest/346/problem/E 有一个长度为\(n\)的数列。 数列的第\(x\)项为\(a\times x\bmod p\)。 问将该数列排序后任意相邻两项之差的最大值是否\(\le h\)。 多组询问,询问次数\(t\)满足\(1\le t\le 10^4\)。 \(1\le a\le 10^9,1\le n<p\le 10
\(\text{exgcd}\) 模板题 首先，我们需要知道 \(\text{B}\acute{e}\text{zout}\) 定理：对于任意整数 \(a,b\)，存在一对整数 \(x,y\)，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。 证明（部分摘自蓝书）： 在欧几里得算法（辗转相除法）的最后一步，即 \(b=0\) 时，显然有 \(x=1,y=0\)，使得 \(a\times1+b\times0=\gcd(a
前言 复习笔记第7篇。注意，由于数论的特殊性，主要以放板子和各种结论性质算法整理为主，不再以题目为导向。 感觉这篇写得好烂，快要变成板子集合了qaq 1. 质数 Eratosthenes 筛法（埃式筛） 思想是标记每个质数的倍数。 void get_primes( int n ) { memset( vis,0,sizeof(vis) );
前言 本文通过尽量短，通俗易懂的形式帮助大家理解最简单的 exgcd。 前置知识： 欧几里得算法（辗转相除法） \[gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\ \ \ (b\neq 0) \]模运算的本质: \[a\bmod b = a - \left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor b \]其中 \(\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor\)
题目链接 题目链接 题意 今有一 01 串。现 \(q\) 次独立地询问，对于一个子串： 一次操作可以把其一个长为 \(k\) 的子串取反，问多少次操作可以将这个串清零（无法清零输出 -1）。 \(n\leq 2\times 10^6\)，\(q\leq 5\times 10^5\)。 题解 先异或差分，把位置按照 \(\bmod k\) 的结果分类，每一
设 \(d=\gcd(n,m)\)，得在同一天一起玩的男生女生的编号一定在\(\bmod d\) 的意义下相等，那么男生女生的编号按\(\bmod d\) 的值分组，考虑每一组的答案，取 \(\max\) 即为所求。 由裴蜀定理得，每组只要有一个人快乐，那么最后组内所有人都会快乐。根据抽屉定理，当 \(d>b+g\) 时肯定无解。 每
T1： 该出一个正 \(n\) 边形，边长为 \(a\)，每个顶点上一开始都有一个移速为 \(v\) 的点，按顺时针依次标号为 \(1\sim n\)。从 \(0\) 时刻开始，每个点 \(i\) 都会朝点 \(i\bmod n+1\) 运动，移动方向随着点 \(i+1\) 的位置变化而变化，最终所有点都会同时到达正 \(n\) 边形的中心，求花费的时间
我们需要解决满足 \(\begin{cases}x \equiv a_1 \ (\bmod \ b_1) \\ x \equiv a_2 \ (\bmod \ b_2) \\ ~~~~~~~~~~~\cdots \\ x \equiv a_n \ (\bmod \ b_n)\end{cases}\) 的一个解 \(x\)，并且保证所有的 \(b\) 都互相互质。 我们考虑设 \(M=\prod\limits_{i=1}^{n} b_i\)，\
