vector<ll> fac; ll quick_mult(ll a, ll b, ll mod) { ll ans = 0; while(b) { if(b & 1) ans = (ans + a) % mod; a = (a + a) % mod; b >>= 1; } return ans; } ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) { ll ans =
引言 我发现如果先自学一遍，然后再写的话记录一个知识点要花费两倍的时间，考虑到中间的损耗，实际要做出一个根据自己理解的文章至少要两天，因此我在想不如和学图形学时一样将日记当作笔记，边学边记，认为简单的就大概记录一下即可。以前笔记记得就很简略，不知为何现在写的却很多（自我感受
本章的意义在于对因子分解和离散对数这些问题的有效算法 。这些算法本身是有趣 的 ，并可作为 己学过的数论知识的良好应用 。此外 ，理解这些算法的效率对于在实际应用中选择密码学参数是至关重要的 文章目录 因式分解算法Pollard的p - 1方法Pollard的rho方法二次筛算法
1.1 miller_rabin 一个检查素数的算法。 是一个概率算法，并不能保证绝对。 1.1.1一些定理 如果 \(n\) 为素数，取 \(n-1=d\times 2^r\)，\(\forall a<n,a\in Z^+\) ，有 \(a^d\equiv 1 \mod n\) 或者 \(\exist 0\leq i<r,s.t.a^{d\times 2^i}\equiv -1\mod n\) （费马小定理推论） 1.1.2
需要注意mr筛的次数稍微有点大，尽量保证正确性，sd要赋初值。 ll mul(ll x, ll y, ll p){ ll t=(x*y-(ll)((long double)x/p*y)*p)%p; if (t<0) return t+p; return t; } ull sd;ll rd(){sd^=sd>>13,sd^=sd<<7,sd^=sd>>23;return sd>>1;} ll gcd(ll x,ll y){return (x%y==0
Solution 用于拆解较大数的质因子。 前置知识：Miller_Robin。 涉及到的思想： 利用 \(\gcd(x,y)\) 来寻找 \(x\) 的因数。 组合随机采样的优秀命中率。 \(\gcd(x\cdot z,y)=\gcd(\gcd(x,y)\times \gcd(z,y),y)\)，因此可以调整步长来判断当前是否找到了因数，减少 \(\gcd\) 的调用
一个很有意思的算法 例题Pollard-Rho算法 要求的是一个数的最大质因子，常规做法肯定是过不了的这个数据范围的 MillerRabin概率测素数法 根据两个定理 费马小定理:若\(p\)为质数,\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}\) 二次检查定理:若\(p\)为质数,\(x^2 \equiv 0 \pmod{p}\)的解为\(x_1=1,
题目 https://www.luogu.com.cn/problem/P4718 思路 真的是阴间卡常模板题 blog 代码 #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define ld long double #define ull unsigned long long using namespace std; int T; ll ans,n; inline ll mul(ll x,ll y,ll p) { ll y
对于Pollard_rho，它可以在O(sqrt（p）)的时间复杂度内找到n的一个小因子p，所以当n的两个素因子差距过大，即有一方过小的话都可以通过Pollard_rho进行分解 例题： n = 1141976890333971618926153237155970525208639827587600850504737512307472709358968061186974826335155409395796814
本系列文章将于2021年整理出版，书名《算法竞赛专题解析》。 前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社 网购：京东 当当 想要一本作者签名书？点我 如有建议，请加QQ 群：567554289，或联系作者QQ：15512356 本文在公众号同步，阅读更方便：算法专辑 公众号还有暑假福利，免费连载作者
有一类问题，要求我们将一个正整数x，分解为两个非平凡因子（平凡因子为1与x）的乘积x=ab。 显然我们需要先检测x是否为素数（如果是素数将无解），可以使用Miller-Rabin算法来进行测试。 大数分解最简单的思想也是试除法，就是从2到sqrt(n)，一个一个的试验，直到除到1或者循环完，最后判断一下是否已经
Pollard_Rho 以下为分解最大质因子代码。 #include <ctime> #include <iostream> using i64 = long long; #define DEBUG() std::cerr << __FUNCTION__ << " " << __LINE__ << std::endl #define ctz __builtin_ctzll i64 gcd(i64 a, i64
一、miller_rabin素数判定 miller_rabin是一种素性测试算法，用来判断一个大数是否是一个质数。miller_rabin是一种随机算法，它有一定概率出错，设测试次数为s，那么出错的概率是 4^(−s) 算法的理论基础： Fermat定理：若a是任意正整数(1≤ a≤ n−1)，n是奇素数，则 a^(n-1) ≡ 1 mod n
$Description:$ 给定$n,x,y$，求$\sum\limits_{i=1}^{n} gcd(i,n)^x lcm(i,n)^y$ $x,y \le 3000$,$n \le 10^{18}$,$mod=10^9+7$ 挺久没有为单独一道题写一篇博客了，但是这是真的大神题。（最近总是被各路大神题吊起来爆捶） 这个式子乍一眼看起来挺朴实，化两步就越发绝望。 首先$gcd$和
对一个大质数进行质因数分解 需要引用miller-robin来判素数 一直写的gcd居然挂掉了... 以后用__gcd了 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; #define ull unsigned long long #define lb long double ll maxfac; inline ll ksc(ull x,ull y
开坑时间：2019.10.18周五 学习原因及其他 没什么原因，就是想学。 有可能是因为今天在机房，csl到处问Pollard's rho怎么写，我随即发现自己不会，决定去学习。 2019-10-18 入门 入门，初步学习：xyx的博客 初步了解Pollard's rho的过程。认识到它的本质以及大致过程。 要分解\(N\) 伪随机生成
浅谈质因数分解 ->part 1： 算数基本定理： 任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作： \[N=\prod_{i=1}^m p_i^ {c_i}\] 其中\(c_i\)都是正整数，\(p_i\)都是质数，且满足\(p_1<p_2<…<p_m\) ->part 2： 分解方法： 试除法 结合质数判定的“试除法”和质数筛选的“\(Erato
如果要对比较大的整数分解，显然之前所学的筛选法和是试除法都将不再适用。所以我们需要学习速度更快的Pollard_Rho算法 pollard_rho 算法流程 Pollard_rho算法的大致流程是 先判断当前数是否是素数（Miller_rabin）了，如果是则直接返回。如果不是素数的话，试图找到当前数的一个因子（可以不
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c){ a%=c; b%=c; ll ret=0,tmp=a; while (b) { if (b&1) { ret+=tmp; if (ret>c) { ret-=c; } } tmp<<=1; if (tmp&g
Miller_Rabin 用途 快速($O(slogn)$，s为尝试次数)地判断一个数是否是质数 原理 首先有费马小定理$a^{p-1}=1 (mod\ p)$当p为质数时成立，所以可以随机选择a来以这个式子作为一定的判断依据，但并不是所有合数都不满足这个式子，甚至存在合数对所有的a都不满足这个式子 然后有二次探测定理$
学Pollard_Rho之前，你需要学会：Miller Rabin。 这是一个很高效的玄学算法，用来对大整数进行因数分解。 我们来分解n。若n是一个素数，那么就不需要分解了。所以我们还得能够判断一个数是否为素数才行。而n是个大整数，显然普通的试除法和筛法都是不够它跑的。所以我们就得考虑
首先讲一下哦，这是一个神奇的算法，所以比较不太好理解（我是菜到交了几十次过了之后才懂得QQwQ） 作为一个优秀的随机算法，复杂度什么的完全不好分析啊（其实是俺懒得分析了…… 都说了它是随机算法了，那么我们先随机暴力一波： while(1){ int x=rand()%(n-1)+1; if(!(n%x) ans[++sum]=x
玄学的pollard-rho 算法思想先咕着 #include<cstdio> #include<time.h> #include<cstdlib> #define re register #define in inline #define int long long in int ksm(int a,int b,int yyb) { int ans=1; while(b){ if(b&1) ans=ans*a%yyb;
目录 问题 流程 代码 生日悖论 end 问题 给定n，要求对n质因数分解 普通的试除法已经不能应用于大整数了，我们需要更快的算法 流程 大概就是找出\(n=c*d\) 如果\(c\)是素数，结束，不是继续递归处理。 具体一点的话 1.先对n进行\(miller\_rabin\)测试，是素数就直接结束了 如果不会的
