素数与约数 1.算数基本定理 任何一个大于1的正整数都能唯一分解成有限个质数的乘积 写作： \[ n=p_1^{c1}p_2^{c2}······p_m^{cm} \]可以直接写作： \[ \prod_{i=1}^mp_i^{ci} \]\(pi\) 都是质数且满足 $ p1<p2<······<pm$ , \(ci\) 都是正整数。 这玩意。。。好像没啥
最大公因数（gcd） 辗转相除法 运算速度： O(n） 计算公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 代码： int gcd(int a,int b) { int c=a%b; while(c!=0) { a=b; b=c; c=a%b; } return b; } 最小公倍数（lcm） 最小公倍数可以通过最大公约数求：最小公倍数 =
目录OI Summary —— Maths扩展欧几里德(exgcd)模板题模板模板题变形求法模板乘法逆元定义模板题费马小定理及求法阶乘线性求法模板 (阶乘线性求法)卢卡斯(Lucas)定理模板题求法模板中国剩余定理(CRT)模板题求法模板拉格朗日插值模板题求法模板大步小步(BSGS)模板题求法模板积性函
一、中国剩余定理 问题 求解线性同余方程组： \(\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\x\equiv a_2\pmod{ m_2}\\ \dots\\x\equiv a_n\pmod {m_n} \end{cases}\) 弱化版（保证\(m_i\)两两互质） 可以证明此时一定有解，且可以构造出一个解\(x_0\)，那么通解显然为\(x\equiv x_0\pmod {\op
初等数论学习笔记 I：同余相关。 1. Miller-Rabin Miller-Rabin 素性测试是常见的 随机性 素数判定方法。 这里的随机指有一定概率将合数判定为素数，但不会将素数判定为合数。 素数判定的基本思路是，根据所有质数均具有但很少合数具有的性质，检查被判定的数是否具有这些性质。若不具有，
数论分块 用于求解 \[\sum\limits_{i=1}^{n}f_i\cdot \left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor \]亦可求解多维 \[\sum\limits_{i=1}^{\min(n_1,n_2,\cdots,n_k)}(f_i\cdot \prod\limits_{j=1}^{k}\left\lfloor\dfrac{n_j}{i}\right\rfloor) \]前提是求出了数论函数\(f(n)\)的
写在前面 55然而我太逊了所以虎哥讲数论的时候一直把数论的费马小定理什么都都咕着，导致我现在学组合数取模啥都不会，所以就有了这个计划 虎哥写的blog比我写的好多了，而且贼全，我就自己重复证一证加深印象⑧ 虎哥的blog✌ 奇怪怪我不会LATEX。。。那我就这么着打吧 我就瞎整了奥 逆
数论数学笔记 第一章：整数的可除性 整除的概念及欧几里得除法 整除定义 素数与合数的定义 不完全商和余数定义 最大公因数与广义欧几里得除法 最大公因数 最大公因数性质 整除的进一步性质及最小公倍数 最小公倍数 素数分解 素数定理 同余式 同余的概论和及基本性质
素数模的逆 又是可恶的密码学。 每天疯狂求逆，天天辗转相除法，实在是腻了。 因此有了以下代码、、 #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <map> using namespace std; int inverse(int x, int mod){ // 计算x模mod的逆 要求模数为素数 使用费马小
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define lowbit(x) x&(-x) #define ll long long map<ll,int>mp; ll mod,b,n; ll ksm(ll aa,ll bb){ ll res=1; while(bb){ if(bb&1)res=res*aa%mod; bb>>=1;aa=aa*aa%mod; } return res; }
目录1. 前言2. 一些基础函数3. 积性函数4. 狄利克雷卷积5. 总结6. 参考资料 1. 前言 狄利克雷卷积，是学习与继续探究 \(\mu\) 函数和 \(\varphi\) 函数的重要前提，因为这两个函数中有一些更好用的性质可以从狄利克雷卷积中得到，或者使用狄利克雷卷积更好的证明。 前置知识：一些基础的
目录1. 前言2. 详解3. 总结4. 参考资料 1. 前言 整除分块，是一种数论的基础算法，必备知识，在很多题目中都有涉及但是题目很基础。 整除分块主要解决的是这样一类问题：求值： \[\sum_{i=1}^{n}f(i)g(\Big\lfloor\dfrac{k}{i}\Big\rfloor) \]其中已知 \(f\) 的前缀和或者能 \(O(1)\) 计算
目录1. 前言2. 详解2.1 定义+作用2.2 exgcd 求法2.3 快速幂求法2.4 线性递推式3. 总结 1. 前言 本篇文章是作者学习乘法逆元的时候的一些学习笔记。 前置知识：同余式，一些简单的数论符号。 2. 详解 2.1 定义+作用 乘法逆元的定义如下：对于任意 \(a \in N_+\)，若存在 \(a \in N_+\) 使
目录1. 前言2. 矩阵快速幂3. 例题4. 总结 1. 前言 本篇文章是作者学习矩阵时候的一些笔记。 注意作者是个 OIer，因此并不会涉及到专业的线性代数知识（或者说是极少）。 前置知识：矩阵定义+矩阵乘法，正整数快速幂。 2. 矩阵快速幂 我们知道复数（或者简单点，实数）中有幂的定义： 对于 \(a \in C
来到数论王国，一切都得重新开始啦 模运算，顾名思义，对一个数进行取模运算，在大数运算中，模运算是常客 如果一个数太大无法直接输出，或者是不需要直接输出，可以对他进行取模缩小数值在输出 我们习惯这样写：a%b=c 取模的结果一般满足于0<=c<=m-1,m一般是题目给的数据范围 而对于取模操作，满足
Lucas定理
简介 求解线性同余方程组：x=ai(mod mi) mi之间两两互质，并不是所有的gcd=1，比如6，10，5就不是 则在模mi乘积的范围内的有唯一解 要求两两互质是由于求解的让Mi和mi是互质的 基本上useless,条件比较苛刻 不互质增量法：不断地合并两个方程，最后只剩一个
数论 整除/gcd 一些常见的结论 1-n之间的素数个数：n/lnn 级别的 第n个素数的大小：nlogn级别大小 1-n的倒数和：logn级别 1-n之间素数的倒数和：loglogn级别的 a|c, b|c, (a, b) = 1 --> ab|c, a,b分别是c的一些质因子乘积，且a,b没有相同的质因子，所以c%(ab)==0
问题描述 给出a,b,c。令p=1000000007, z=b^c, y=a^z, x=y mod p。请求出x。 输入格式 三个整数分别是a,b,c 输出格式 请输出x 数据规模和约定 abc都不超过10^9 思路 不能使用a^(b^c%mod)%mod 考虑费马小定理 当a和p互质时， a ^ (p - 1) % p = 1 最后的结论是a^(b^c
今日周五 首先，我怀着INT_MAX的敬意放一张截图 这篇文章是我在离散数学课上写的（逃！） Q：（诶？为啥在上网课呢？） 抽象啊！ 山里的学校被封了。。。 昨天看到淄博报道说发现两名密切接触者 今天看到山里报道说发现两名密切接触者 事情好像不对？ 此情此景我只能说 真的可惜！
前置知识 对于\(N^*=\{\lfloor n/i \rfloor|i\in[1,n]\}\). (1) 满足 \(\lfloor n/i \rfloor,x\in N^*\) 的最大的 \(i\) 为 \(\lfloor n/x \rfloor\). (1)证明: 显然有 \(x\le n/i < x+1\) \(\Leftrightarrow ix \le n < i(x+1)\) \(\Leftrightarrow n/(x+1
筛法求质数时间复杂度 质数定理:1-n中有n/(lnn)个质数 线性筛
一、算法 1.欧几里得算法(辗转相除法求最大公约数) int gcd(int a,int b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); } 辗转相减法（求最大公约数） 即尼考曼彻斯法，其特色是做一系列减法，从而求得最大公约数。例如 ：两个自然数35和14，用大数减去小数，(35,14)->(21,14)->(7,14)，此时，7小于14，要做一次交
P1246 编码 Problem Link solution \(\quad\)先把位数比自己小的编码个数算出来，然后从左到右考虑位数和自己相等，但是比自己小的编码。这玩意和一般的字典序还不太一样，因为是升序，还要用组合数来计算。 code #include<bits/stdc++.h> using namespace std; string s; int ans, n;
逆元 准确地说，这里讲的是模意义下的乘法逆元。 定义：如果有同余方程 \(ax\equiv 1\pmod p\)，则 \(x\) 称为 \(a\bmod p\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。 作用是抵消乘法，即 \(x\cdot a\cdot a^{-1}\equiv x\pmod p\) 进一步可以得到 \(\frac xa\equiv x\times a^{-1}\pmod p\)，这也是分数取
