标签:图论 定理 入度 矩阵 树形图 Laplace 自环 节点
允许重边,不允许自环。
无向图:
度数矩阵:D[i][i]=deg[i]
邻接矩阵:A[i][j]=edge[i][j]的数量 注意不可以有自环
Laplace矩阵: L=D-A
生成树个数记为 \(t(G)\)
无向图矩阵树定理:
对于所有的i,把Laplace矩阵的第i行和第i列删除,然后计算其行列式。
设 $L_i(G,i) = L(G) 删除第i行和第i列 $ 的结果
\(t(G)=det(L_i(G,i))\) 也就是说,Laplace矩阵的所有n-1阶主子式的行列式的值都相同,可以任意选择一个计算。
也可以使用什么特征值形式。
有向图:
入度矩阵:Din[i][i]=din[i]
出度矩阵:Dout[i][i]=dout[i]
邻接矩阵:A[i][j]=edge[i][j]的数量 注意不可以有自环
入度Laplace矩阵: Lin=Din-A
出度Laplace矩阵: Lout=Dout-A
图G的以r为根节点的根向树形图个数记为 \(t^{root}(G,r)\) ,根向树形图是指,基图是一棵树,边全部指向父节点。
图G的以r为根节点的叶向树形图个数记为 \(t^{leaf}(G,r)\) ,叶向树形图是指,基图是一棵树,边全部指向子节点。
有向图矩阵树定理:
对于所有的k,把入度Laplace矩阵的第k行和第k列删除,然后计算其行列式。
设 $L^{in}_k(G,k) = L^{in}(G) 删除第k行和第k列 $ 的结果
\(t(G,k)=det(L^{in}_k(G,k))\)
所以,如果要统计所有的根向树形图,则枚举k然后求和。
同理有叶向树形图。
标签:图论,定理,入度,矩阵,树形图,Laplace,自环,节点 来源: https://www.cnblogs.com/purinliang/p/14223802.html
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