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熟悉缠中说禅的股民，对闭区间套定理一定不会陌生。闭区间套定理是实数集上序列收敛的基本定理，它的发现者是天才数学家康托尔（Cantor）。康托尔是现代公理化集合论的奠基者。与许多的天才理论一样，他的集合理论在提出之初，饱受学术界诟病。因为他构造集合的很多方法，需要执行无限步，这很难被保守派的学者们接受。其实，世上从来不缺乏天才科学家的科学理论，可是科学的进展之所以曲折而缓慢，因为有太多太多像高斯这样的保守派的存在。他们为了私欲，打击新人，不愿意接收新的理论，导致科学的进程不进反退。这样的人，即使成就再高，也是无知而无耻的。

闭区间套定理，是定义在实数集上的。但是，它可以很容易推广到一般的$\mathbb{R}^n$Rn空间。因此，本文介绍的是$\mathbb{R}^n$Rn上的版本，叫闭集套定理，更为合适一些。

首先需要闭集的一个很重要的性质，这个性质说明了闭集的“闭”的根本意义。

定理 设$C$C是$\mathbb{R}^n$Rn上的闭集，序列$\{x_n\}\subseteq C${xn​}⊆C。若$\lim x_n =x$limxn​=x，则有$x\in C$x∈C。
证明 若$x\notin C$x∈/​C则有$x\in ext(C)$x∈ext(C)。也即存在$\epsilon > 0$ϵ>0满足$U(x, \epsilon)\cap C=\emptyset$U(x,ϵ)∩C=∅。这说明$|x_m-x|>\epsilon$∣xm​−x∣>ϵ对所有的正整数$m$m成立。这与$\lim x_m=x$limxm​=x的条件相悖。

从上面的定理，我们知道，闭集的"闭"是指闭集对序列的极限运算封闭。

要介绍闭集套定理，还需要集合直径的概念。

定义 我们称$\mathbb{R}^n$Rn集合$A$A是有界的，如果存在实数$C&gt;0$C>0满足$|x|&lt;C$∣x∣<C对所有的$x\in A$x∈A成立。

定义 一个有界集合$A$A的直径定义为
$diam A = \sup_{x,y\in A} |x-y|。$diamA=x,y∈Asup​∣x−y∣。

定理（闭集套定理） 设集族$\{A_n\}${An​}满足$A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$A1​⊃A2​⊃A3​⊃...且$\lim_{n\rightarrow\infty} diam A_m=0$limn→∞​diamAm​=0。那么集合$A_1\cap A_2 \cap...$A1​∩A2​∩...包含唯一的点$x$x。

证明 从集合$A_m$Am​任取点$x_m\in A_m$xm​∈Am​构成序列$\{x_m\}${xm​}。那么对任意$\epsilon &gt; 0$ϵ>0存在集合$A_M$AM​满足
$diam A_M &lt; \epsilon。$diamAM​<ϵ。
由于当$m \geq M$m≥M时有$x_m\in A_m \subseteq A_M$xm​∈Am​⊆AM​，故对任意$l, m \geq M$l,m≥M有
$|x_l-x_m| &lt; diam A_M &lt; \epsilon。$∣xl​−xm​∣<diamAM​<ϵ。
这说明序列$\{x_m\}${xm​}是柯西序列。设$lim x_m = x$limxm​=x，我们要证明$x\in A_m$x∈Am​对所有的$m$m成立。考虑到序列$\{x_m, x_{m+1},...\}\subseteq A_m${xm​,xm+1​,...}⊆Am​，而该序列的极限也是$x$x。由$A_m$Am​是闭集可知$x\in A_m$x∈Am​。这说明$x\in A_1\cap A_2\cap...$x∈A1​∩A2​∩...。$x$x的唯一性由$\lim_{n\rightarrow\infty} diam A_m=0$limn→∞​diamAm​=0易证。定理证毕。

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来源： https://blog.csdn.net/hedan2013/article/details/100390500

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