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2.2.1 直线的点斜式方程

2022-09-04 15:00:38  阅读:158  来源: 互联网

标签:直线 方程 dfrac 斜式 sqrt 斜率 quad 2.2


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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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选择性必修第一册同步巩固,难度2颗星!

基础知识

直线的点斜式方程

若直线的斜率为\(k\),且过定点\(P(x_0,y_0)\),则直线方程为\(y-y_0=k(x-x_0)\),我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
解释
① 点斜式告诉我们:给定一点和斜率便可唯一确定一条直线,确定其方程.
当倾斜角为\(0°\)时,\(k=tan0°=0\),方程为\(y=y_0\);
image.png
当倾斜角为\(90°\)时,斜率不存在,不能用点斜式表示,方程为\(x=x_0\);
image.png
② 建立直线的方程,就是利用确定直线位置的几何要素,建立直线上任意一点的横坐标\(x\),纵坐标\(y\)所满足的关系式;
证明 :直线\(l\)经过点\(P(x_0,y_0)\),且斜率为\(k\),设\(P(x,y)\)是直线\(l\)上不同于点\(P_0\)的任意一点,因为直线\(l\)的斜率为\(k\),由斜率公式可得 \(k=\dfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}\),即\(y-y_0=k(x-x_0)\).
image.png
因此显然可得直线\(l\)上每一点的坐标\((x,y)\)都满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\).
反过来呢?坐标满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\)的每个点都在直线\(l\)上.
事实上,若点\(P_1 (x_1,y_1)\)的坐标\(x_1\),\(y_1\)满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\),即\(y_1-y_0=k(x_1-x_0 )\)
当\(x_1=x_0\)时,点\(P_1\)与\(P_0\)重合,显然点\(P_1\)在直线\(l\)上;
当\(x_1≠x_0\)时,有 \(k=\dfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}\),这说明过点\(P_1\),\(P_0\)的直线\(l_1\)的斜率为\(k\),
因为直线\(l\),\(l_1\)的斜率均为\(k\),且都过点\(P_0\),所以它们重合,所以点\(P_1\)在直线\(l\)上.
故坐标满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\)的每个点都在直线\(l\)上.
 

【例】 求经过点\(P(1,-2)\),倾斜角为\(45°\)的直线方程.
解析 \(k=tan45°=1\),则直线方程为\(y-(-2)=1×(x-1)\),即\(y=x-3\).
 

直线的斜截式方程

我们把方程\(y=kx+b\)叫做直线的斜截式方程,简称斜截式,其中\(k\)为直线斜率,\(b\)为直线在\(y\)轴上的截距.
解释
① 截距是一个数值,不是距离;
② 对于直线\(l_1:y=k_1 x+b_1\),\(l_2:y=k_2 x+b_2\),
\(l_1//l_2⇔k_1=k_2\)且\(b_1≠b_2\);\(l_1⊥l_2⇔k_1 k_2=-1\).
 

【例1】 已知直线在\(y\)轴上的截距为\(-3\),且斜率为\(2\),求直线的截距式方程.
解析 \(k=2\),\(b=-3\),则直线的截距式方程\(y=2x-3\).
 

【例2】 判断直线的位置关系
(1)\(l_1:y=4x+3\),\(l_2:y=4x-2\); (2) \(l_{1}: y=\dfrac{5}{2} x\), \(l_{2}: y=-\dfrac{2}{5} x\).
解析 (1)平行 (2)垂直
 

对称性问题

1 点关于点的对称
点\(P(x_0 ,y_0)\)关于\(A(a ,b)\)的对称点为\(P'(2a-x_0 ,2b-y_0)\);
 
2 点关于直线的对称
设点\(P(x_0 ,y_0)\)关于直线\(l:y=kx+b\)的对称点为\(P'(x' ,y')\),
则有 \(\left\{\begin{array}{c} \dfrac{y^{\prime}-y_{0}}{x^{\prime}-x_{0}} \cdot k=-1 \\ \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}=k \cdot \dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}+b \end{array}\right.\)可求出\(x'\) ,\(y'\),从而得到点\(P'\).
image.png
(直线\(l\)是线段\(PP'\)的垂直平分线,则 \(k_{PP'} \cdot k =-1\),\(PP'\)的中点 \(\left(\dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}, \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}\right)\)在直线\(l\)上)
 

【例】 原点关于 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)的对称点的坐标为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 设原点关于 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)的对称点的坐标为\((a,b)\),
则 \(\dfrac{b}{a} \times \dfrac{1}{2}=-1\), \(\dfrac{a}{2}-2 \times \dfrac{b}{2}+1=0\),联立解得 \(a=-\dfrac{2}{5}\), \(b=\dfrac{4}{5}\).
\(∴\)要求的点 \(\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\).
 

基本方法

【题型1】直线的点斜式与斜截式

【典题1】 求满足下列条件的直线方程:
  (1)经过点\((2,-3)\),倾斜角是直线 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x\)倾斜角的\(2\)倍;
  (2)过\(P(-2,3)\),\(Q(5,-4)\)两点;
解析 (1)\(∵\)直线 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x\)的斜率为 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\),\(∴\)倾斜角为\(30°\).
\(∴\)所求直线的倾斜角为\(60°\),其斜率为 \(\sqrt{3}\).
\(∴\)所求直线方程为\(y+3=\sqrt{3}(x-2)\),即\(\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}-3=0\).
(2)过点\(P(-2,3)\),\(Q(5,-4)\)两点的直线斜率 \(k_{P Q}=\dfrac{-4-3}{5-(-2)}=\dfrac{-7}{7}=-1\).
又\(∵\)直线过点\(P(-2,3)\),
\(∴\)由直线方程的点斜式可得直线方程为\(y-3=-(x+2)\),
即\(y=-x+1\).
 

【典题2】求满足下列条件的直线方程:
  (1)经过点\((1,-2)\)且与直线\(y=3x-5\)垂直;
  (2)与直线\(y=-2x+3\)平行,过直线\(y=4x-2\)在\(y\)轴上的点.
解析 (1)因为直线\(y=3x-5\)的斜率为\(3\),且所求直线与该直线垂直,
所以所求直线斜率为 \(-\dfrac{1}{3}\),
又直线过点\((1,-2)\),
所以直线方程为 \(y+2=-\dfrac{1}{3}(x-1)\),即 \(y=-\dfrac{1}{3} x-\dfrac{5}{3}\).
(2)直线\(y=-2x+3\)的斜率为\(-2\),直线\(y=4x-2\)在\(y\)轴上的点为\((0,-2)\).
由直线方程的斜截式得\(y=-2x-2\).
 

巩固练习

1.已知直线\(l\)的方程是\(y+2=-(x+1)\),则(  )
 A.直线\(l\)经过点\((-1,2)\),斜率为\(-1\) \(\qquad \qquad\) B.直线\(l\)经过点\((2,-1)\),斜率为\(-1\)
 C.直线\(l\)经过点\((-1,-2)\),斜率为\(-1\) \(\qquad \qquad\) D.直线\(l\)经过点\((-2,-1)\),斜率为\(1\)
 

2.已知直线\(l\)的倾斜角为\(30°\),在\(y\)轴上的截距为\(-2\),则直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\).
 

3.已知点\(A(3,3)\)和直线\(l\)的斜率 \(k=\dfrac{3}{4}\).求:
 (1)过点\(A\)且与直线\(l\)平行的直线方程\(l_1\);
 (2)过点\(A\)且与直线\(l\)垂直的直线方程\(l_2\).
 

4.已知直线\(l\)的斜率为\(-1\),且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 \(\dfrac{1}{2}\),求直线\(l\)的方程.
 

参考答案

  1. 答案 \(C\)
  2. 答案 \(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3} x-2\)
    解析 \(y=\tan 30^{\circ} x-2=\dfrac{\sqrt{3}}{3} x-2\).
  3. 答案 (1) \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{3}{4}\) (2) \(y=-\dfrac{4}{3} x+7\)
    解析 \(∵k=\dfrac{3}{4}\),\(∴\)过点\(A\)且与直线\(l\)平 行的直线的斜率为 \(k_1=\dfrac{3}{4}\).
    过点\(A\)且与直线\(l\)垂直的直线的斜率为 \(k_{2}=-\dfrac{4}{3}\).
    \(∴\)(1)直线\(l_1\)的方程为 \(y-3=\dfrac{3}{4}(x-3)\),即 \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{3}{4}\).
    (2)直线\(l_2\)的方程为 \(y-3=-\dfrac{4}{3}(x-3)\),即 \(y=-\dfrac{4}{3} x+7\).
  4. 答案 \(y=-x+1\)或\(y=-x-1\)
    解析 设l的方程为\(y=-x+b\),
    则它与两个坐标轴的交点为\(A(b,0)\)和\(B(0,b)\),
    所以直角三角形\(OA B\)的两个直角边长都为\(|b|\),
    所以其面积为 \(\dfrac{1}{2} b^{2}\),由 \(\dfrac{1}{2} b^{2}=\dfrac{1}{2}\),解得\(b=±1\),
    所以所求直线的方程为\(y=-x+1\)或\(y=-x-1\).
     

【题型2】对称性问题

【典题1】 已知点\(A(1,3)\),\(B(-5,1)\),直线\(L\)关于\(A\)、\(B\)对称,则\(L\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由题意,即求\(AB\)的垂直平分线方程,
\(AB\)的中点坐标为\((-2,2)\),\(AB\)的斜率为 \(\dfrac{1-3}{-5-1}=\dfrac{1}{3}\),
\(∴L\)的方程是\(y-2=-3(x+2)\),即\(3x+y+4=0\),
 

【典题2】 已知直线\(y=2x\)是\(△ABC\)中\(∠C\)的平分线所在的直线,若点\(A\)、\(B\)的坐标分别是\((-4 ,2)\),\((3 ,1)\),则点\(C\)的坐标为 \(\underline{\quad \quad}\).
解析 (直线\(y=2x\)是角平分线,意味直线\(AC\)与\(BC\)关于\(y=2x\)对称)
image.png
设\(A(-4 ,2)\)关于直线\(y=2x\)的对称点为\(A'(x ,y)\),
则 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{y-2}{x+4} \times 2=-1 \\ \dfrac{y+2}{2}=2 \times \dfrac{-4+x}{2} \end{array}\right.\)(),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=4 \\ y=-2 \end{array}\right.\),即\(A'(4 ,-2)\).
(这是点关于直线对称的问题,理解到直线\(y=2x\)是\(AA'\)的垂直平分线易得(
)式)
\(∴\)直线\(BA'\)方程为 \(y-1=\dfrac{-2-1}{4-3}(x-3)=-3(x-3)\),
化为\(3x+y-10=0\).(点\(A'\)在直线\(BC\)上)
联立 \(\left\{\begin{array}{l} 3 x+y-10=0 \\ y=2 x \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=4 \end{array}\right.\),可得\(C(2 ,4)\).
(对称轴\(y=2x\)与直线\(BC\)的交点就是点\(C\))
 

巩固练习

1.点\(M(2,-1)\)关于直线\(l:y=2x+1\)的对称点\(N\)的坐标是\(\underline{\quad \quad}\).
 

2.已知\(△ABC\)的顶点\(A(1,2)\),\(AB\)边上的中线\(CM\)所在的直线方程为\(x+2y-1=0\),\(∠ABC\)的平分线\(BH\)所在直线方程为\(y=x\),则直线\(BC\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

3.过点 \(A(\sqrt{3}, 1)\)的直线 \(l_{1}: \sqrt{3} x+a y-2=0\)与过点 \(B(\sqrt{3}, 4)\)的直线\(l_2\)交于点\(C\),若\(△ABC\)是以\(AB\)为底边的等腰三角形,则\(l_2\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\).
 

参考答案

  1. 答案 \(\left(-\dfrac{14}{5}, \dfrac{7}{5}\right)\)
    解析 设\(N(x,y)\),则由 \(\dfrac{y+1}{x-2} \times 2=-1\)且 \(\dfrac{y-1}{2}=2 \dfrac{x+2}{2}+1\),解得 \(N\left(-\dfrac{14}{5}, \dfrac{7}{5}\right)\).

  2. 答案 \(y=\dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}\)
    解析 由题意可知,点\(B\)在角平分线\(y=x\)上,可设点\(B\)的坐标是\((m,m)\),
    则\(AB\)的中点 \(\left(\dfrac{m+1}{2}, \dfrac{m+2}{2}\right)\)在直线\(CM\)上, \(\therefore \dfrac{m+1}{2}+2 \cdot \dfrac{m+2}{2}-1=0\),
    解得:\(m=-1\),故点\(B(-1,-1)\).
    设\(A\)关于\(y=x\)的对称点为\(A'(x_0,y_0)\),
    则有 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{y_{0}-2}{x_{0}-1}=-1 \\ \dfrac{y_{0}+2}{2}=\dfrac{x_{0}+1}{2} \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x_{0}=2 \\ y_{0}=1 \end{array}\right.\),
    即\(A'(2,1)\)
    则由\(A'\)在直线\(BC\)上,可得\(BC\)的方程为 \(y=\dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}\).

  3. 答案 \(y=-\sqrt{3} x+7\)
    解析 过点\(A(\sqrt{3},1)\)的直线\(l_1:\sqrt{3} x+ay-2=0\),
    \(∴\sqrt{3}⋅\sqrt{3}+a-2=0\),解得\(a=-1\);
    \(∴\)直线\(l_1\)的方程为\(\sqrt{3}x-y-2=0\);
    \(l_1\)与过点\(B(\sqrt{3},4)\)的直线\(l_2\)交于点\(C\),且\(△ABC\)是以\(AB\)为底边的等腰三角形,
    如图所示;
    image.png
    则\(l_1\)与\(l_2\)关于直线 \(y=\dfrac{5}{2}\)对称,\(∴\)点 \(C\left(\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}, \dfrac{5}{2}\right)\);
    \(∴\)直线\(l_2\)的斜率为 \(k=\dfrac{\dfrac{5}{2}-4}{\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}\),直线方程为 \(y-4=-\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\),
    即 \(y=-\sqrt{3} x+7\).
    故答案为: \(y=-\sqrt{3} x+7\).

分层练习

【A组---基础题】

1.无论\(k\)取何值,直线\(y-2=k(x+1)\)所过的定点是(  )
 A.\((1,2 )\) \(\qquad \qquad\) B.\((-1,2)\) \(\qquad \qquad\) C.\((-1,-2)\) \(\qquad \qquad\) D.\((1,-2)\)
 

2.直线\(y=\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\)的斜率与\(y\)轴上的截距分别是(  )
 A.\(\sqrt{3},\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\sqrt{3},-3\) \(\qquad \qquad\) C.\(\sqrt{3},3\) \(\qquad \qquad\) D.\(-\sqrt{3},-3\)
 

3.已知点\(P(3,4)\).过点\(P\)且斜率为\(2\)的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\);过点\(P\)且倾斜角为\(150°\)的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\) ;过点\(P\)且与\(x\)轴平行的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\) ;过点\(P\)且与\(x\)轴垂直的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\).
 

4.过点\(A(2,4)\),\(B(-2,8)\)的直线方程是 .
 

5.经过点\(A(3,2)\),且与直线 \(y=-\dfrac{2}{3} x+\dfrac{16}{3}\)垂直的直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\).
 

6.已知直线\(l_1:y=-2x-2\)与 \(l_{2}: y=-\dfrac{4 x}{b}-\dfrac{c}{b}\)关于点\(P(1,0)\)对称,则\(b+c=\)\(\underline{\quad \quad}\).
 

7.如图,矩形\(ABCD\)中\(AB\)边与\(x\)轴重合,\(C(2,2)\),\(D(-1,2)\).从原点\(O\)射出的光线\(OP\)经\(BC\)反射到\(CD\)上,再经\(CD\)反射到\(AD\)上点\(Q\)处.
(1)若\(OP\)的斜率为 \(\dfrac{1}{2}\),则点\(Q\)的坐标为\(\underline{\quad \quad}\);
(2)若点\(Q\)恰为线段\(AD\)中点,则\(OP\)的斜率为\(\underline{\quad \quad}\).
image.png
 
 

8.一束光线从原点\(O(0,0)\)出发,经过直线 \(l:-\dfrac{4}{3} x+\dfrac{25}{6}\)反射后通过点\(P(-4,3)\),求反射光线的方程.
 
 

参考答案

  1. 答案 \(B\)
  2. 答案 \(B\)
  3. 答案 \(y=2x-2\);\(x+\sqrt{3} y-4\sqrt{3}-3=0\); \(y=4\);\(x=3\)
  4. 答案 \(y=-x+6\)
    解析 直线斜率 \(k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1\),
    则所求直线方程为\(y-4=-(x-2)\),即\(y=-x+6\).
  5. 答案 \(y=\dfrac{3}{2} x -\dfrac{5}{2}\)
    解析 与直线 \(y=-\dfrac{2}{3} x+\dfrac{16}{3}\)垂直的直线\(l\)的方程为 \(y=\dfrac{3}{2} x+c\),
    又经过点\(A(3,2)\),则 \(2=\dfrac{9}{2}+c\),即 \(c=-\dfrac{5}{2}\),即直线方程为 \(y=\dfrac{3}{2} x -\dfrac{5}{2}\).
  6. 答案 \(-10\)
    解析 在直线\(l_1:y=-2x-2\)上取点\(M(-1,0)\),\(N(0,-2)\)
    \(M,N\)关于点\(P(1,0)\)对称的点分别为\(M_1 (3,0)\),\(N_1 (2,2)\)
    点\(M_1 (3,0)\),\(N_1 (2,2)\)必在直线 \(l_{2}: y=-\dfrac{4 x}{b}-\dfrac{c}{b}\)上,
    \(\therefore-\dfrac{12}{b}-\dfrac{c}{b}=0\), \(-\dfrac{8}{b}-\dfrac{c}{b}=2\),解得\(b=2\),\(c=-12\)
    \(∴b+c=-10\),
    故答案为:\(-10\).
  7. 答案 (1) \(\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\) (2) \(\dfrac{3}{5}\)
    解析 (1)根据\(OP\)的斜率为 \(\dfrac{1}{2}\),可得\(P(2,1)\)在\(BC\)中点上,
    那么反射必经过\(DC\)与 \(y\)轴的交点,
    即坐标为\((0,2)\),设点\(Q\)的坐标\((-1,t)\)
    那么 \(\dfrac{2-t}{0-(-1)}=\dfrac{1}{2}\),解得: \(t=\dfrac{3}{2}\)
    即点\(Q\)的坐标 \(\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\).
    (2)由题意,设\(P(2,n)\),反射线与\(DC\)交点\(E\)为\((m,2)\);入射角和反射角相等,
    可得 \(\dfrac{n}{2}=\dfrac{2-n}{2-m}\)⋯⋯①
    \(OP\)的斜率等于\(QE\)斜率;即 \(\dfrac{n}{2}=\dfrac{2-1}{m+1}\)⋯⋯②
    由①②解得: \(n=\dfrac{6}{5}\)
    则\(OP\)的斜率为 \(\dfrac{3}{5}\).
  8. 答案 \(y=3\)
    解析 如图所示,设原点关于直线\(l\)的对称点\(A\)的坐标为\((a,b)\),
    由直线\(AO\)与\(l\)垂直和线段\(AO\)的中点在\(l\)上得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{b}{a} \cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1 \\ \dfrac{b}{2}=-\dfrac{4}{3} \times \dfrac{a}{2}+\dfrac{25}{6} \end{array}\right.\),
    解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=4 \\ b=3 \end{array}\right.\),\(∴A\)的坐标为\((4,3)\).
    image.png
    \(∵\)反射光线的反向延长线过\(A(4,3)\),
    又由反射光线过\(P(-4,3)\),
    \(∴\)两点纵坐标相等,故反射光线所在直线的方程为\(y=3\).
     

【B组---提高题】

1.已知直线\(l_1:y=2x+1\),直线\(l_2\)与\(l_1\)关于直线\(y=-x\)对称,则直线\(l_2\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\).
 

2.在平面直角坐标系\(xOy\)中,将直线\(l\)沿x轴正方向平移\(3\)个单位,沿\(y\)轴正方向平移\(5\)个单位,得到直线\(l_1\).再将直线\(l_1\)沿\(x\)轴正方向平移\(1\)个单位,沿\(y\)轴负方向平移\(2\)个单位,又与直线\(l\)重合.若直线\(l\)与直线\(l_1\)关于点\((2,3)\)对称,则直线\(l\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\).
 

参考答案

  1. 答案 \(y=\dfrac{1}{2}(x+1)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)
    解析 由 \(\left\{\begin{array}{l} y=2 x+1 \\ y=-x \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{1}{3} \\ y=\dfrac{1}{3} \end{array}\right.\),
    即有\(l_1\)和直线\(y=-x\)的交点\(A\)为 \(\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)\),
    再在\(l_1\)上取一点\(C(0,1)\),则点\(C\)关于直线\(y=-x\)的对称点\(B(m,n)\),
    则有 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{n-1}{m-0}=1 \\ \dfrac{n+1}{2}=-\dfrac{m}{2} \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} m=-1 \\ n=0 \end{array}\right.\),
    故点\(B(-1,0)\),
    故\(AB\)的斜率为 \(k_{A B}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{1}{3}+1}=\dfrac{1}{2}\),
    由点斜式求得直线\(l_1\)关于直线\(y=-x\)的对称的直线\(AB\)
    即直线\(l_2\)的方程为: \(y=\dfrac{1}{2}(x+1)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\).
  2. 答案 \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{8}\).
    解析 设直线\(l\)的方程为:\(y=kx+b\),将直线\(l\)沿\(x\)轴正方向平移\(3\)个单位,
    沿\(y\)轴正方向平移\(5\)个单位,
    得到直线\(l_1:y=k(x-3)+5+b\),化为\(y=kx+b+5-3k\),
    再将直线\(l_1\)沿\(x\)轴正方向平移\(1\)个单位,沿\(y\)轴负方向平移\(2\)个单位,
    \(y=k(x-3-1)+b+5-2\),化为\(y=kx+3-4k+b\).
    又与直线\(l\)重合.
    \(∴b=3-4k+b\),解得 \(k=\dfrac{3}{4}\).
    \(∴\)直线\(l\)的方程为: \(y=\dfrac{3}{4} x+b\),直线\(l_1\)为:\(y=3/4 x+11/4+b\),
    设直线\(l\)上的一点 \(P\left(m, b+\dfrac{3 m}{4}\right)\),
    则点\(P\)关于点\((2,3)\)的对称点 \(P^{\prime}\left(4-m, 6-b-\dfrac{3}{4} m\right)\),
    \(\therefore 6-b-\dfrac{3}{4} m=\dfrac{3}{4}(4-m)+b+\dfrac{11}{4}\),解得 \(b=\dfrac{1}{8}\).
    \(∴\)直线\(l\)的方程是 \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{8}\).
    故答案为: \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{8}\).
     

【C组---拓展题】

1.如图已知\(A(4,0)\)、\(B(0,4)\)、\(O(0,0)\),若光线\(L\)从点\(P(2,0)\)射出,直线\(AB\)反射后到直线\(OB\)上,在经直线\(OB\)反射回原点\(P\),则光线\(L\)所在的直线方程为\(\underline{\quad \quad}\).
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参考答案

  1. 答案 \(y=3x-6\)
    解析 由题意知直线\(AB\)的方程为\(y=-x+4\),
    设光线分别射在\(AB\)、\(OB\)上的\(M\)、\(N\)处,
    (本题就是求直线\(PM\)方程,只要求出点\(M\)便可)
    image.png
    由于光线从点\(P\)经两次反射后又回到\(P\)点,
    根据反射规律,则\(∠PMA=∠BMN\);\(∠PNO=∠BNM\).
    (反射问题,当然想到入射角相等,它的数学本质是对称问题)
    作出点\(P\)关于\(OB\)的对称点\(P_1\),作出点\(P\)关于\(AB\)的对称点\(P_2\),
    则\(∠P_2 MA=∠PMA=∠BMN\),\(∠P_1 NO=∠PNO=∠BNM\),
    \(∴P_1,N,M,P_2\)共线,
    (通过平几知识得到四点共线)
    易得点\(P\)关于\(y\)轴的对称点\(P_1 (-2,0)\),
    \(∵OA=OB=4\),
    \(∴∠P_2 AB=∠PAB=45°\),\(∴P_2 A⊥OA\),\(∴P_2\)的横坐标为\(4\),
    由对称性可知\(P_2 A=PA=2\),可得\(P_2\)的纵坐标为\(2\),
    \(∴P_2 (4,2)\),
    (求\(P_2\)的坐标常规方法是点关于直线对称的套路,但有时通过细致的观察,不走寻常路更容易得到你想要的,要善于思考、观察)
    \(∴\)直线 \(P P_{2}: \dfrac{y}{x+2}=\dfrac{2}{4+2}\),即\(x-3y+2=0\),
    联立 \(\left\{\begin{array}{l} x-3 y+2=0 \\ x+y-4=0 \end{array}\right.\),得 \(x=\dfrac{5}{2}, y=\dfrac{3}{2}\) ,则 \(M\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\),
    \(∴\)直线 \(P M: y=3x-6\),即光线\(L\)所在的直线方程为\(y=3x-6\).

标签:直线,方程,dfrac,斜式,sqrt,斜率,quad,2.2
来源: https://www.cnblogs.com/zhgmaths/p/16655125.html

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