ICode9

精准搜索请尝试: 精确搜索
首页 > 其他分享> 文章详细

欧拉计划

2022-08-18 18:03:32  阅读:163  来源: 互联网

标签:right dfrac sum texttt sqrt 计划 欧拉 left


\(\texttt{Problem 1}\)

\(\texttt{Describe}\)

在小于 \(10\) 的自然数中,\(3\) 或 \(5\)的倍数有 \(3,5,6\) 和 \(9\),这些数之和是 \(23\)。

求小于 \(1000\) 的自然数中所有 \(3\) 或 \(5\) 的倍数之和。

\(\texttt{Solution}\)

可以考虑容斥,我们定义函数 \(S(x)\) 为小于 \(1000\) 的 \(x\) 的倍数之和。

\[\begin{aligned} S(x)&=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{999}{x} \rfloor} i\cdot x\\ &=x\cdot\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{999}{x} \rfloor} i\\ &=\dfrac x2\cdot(1+\lfloor \dfrac {999}{x} \rfloor)\cdot\lfloor \dfrac {999}{x} \rfloor \end{aligned} \]

所以答案等于

\[\text{Answer}=S(3)+S(5)-S(15)=233168 \]

\(\texttt{Problem 2}\)

\(\texttt{Describe}\)

\(\texttt{Fibonacci}\) 数列定义为:

\[f_0=0,f_1=1\\ f_i=f_{i-2}+f{i-1}(i\ge 2) \]

考虑一个 \(\texttt{Fibonacci}\) 数列中不超过四百万的项,求其中为偶数的项之和。

\(\texttt{Solution}\)

考虑生成函数

\[\begin{aligned} &F(x)=\sum_{n=0}^\infty f_nx^n\\ &xF(x)=\sum_{n=1}^\infty f_{n-1}x^n\\ &x^2F(x)=\sum_{n=2}^\infty f_{n-2}x^n\\ \end{aligned} \]

显然有 \(xF(x)+x^2F(x)-f_0x+f_1x+f_0=F(x)=x+xF(x)+x^2F(x)\),易有 \(F(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2}\)

因为由几何级数可以得知

\[\sum_{n=0}^\infty a_0r^n=\dfrac{1}{1-r}\qquad|r|\in[0,1) \]

所以想将封闭形式转化为几何级数的和,利用待定系数法分解。

\[F(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2}=\dfrac{u}{1-px}+\dfrac{v}{1-qx}=\dfrac{u-uqx+v-vpx}{(1-px)(1-qx)}\\ \]

有方程

\[\begin{cases} pq=-1\\ p+q=1\\ u+v=0\\ uq+vp=-1\\ \end{cases} \]

解得

\[\begin{cases} p=\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\\ q=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\\ u=-\dfrac{1}{\sqrt 5}\\ v=\dfrac{1}{\sqrt 5}\\ \end{cases} \]

所以

\[\begin{aligned} F(x) &=\dfrac {1}{\sqrt 5}(\dfrac{1}{1-\frac {1+\sqrt 5}{2}x}-\dfrac{1}{1-\frac {1-\sqrt 5}{2}x})\\ &=\dfrac {1}{\sqrt 5}\left(\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right)x^n \end{aligned} \]

所以推得 \(\texttt{Fibonacci}\) 数列的通项公式为

\[f_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right) \]

解不等式(下面推导过程中 \(L\) 表示 \(4000000\))

\[f_n\le L\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right)\le L\\ \\ \left(\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right)\le\sqrt 5L \]

我们利用二项式定理展开不等式左边

\[\begin{aligned} \left(\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right)&=2^{-n}\left(\sum_{i=0}^n\binom ni \sqrt 5^i-\sum_{i=0}^n\binom ni (-1)^i\sqrt 5^i\right)\\ &=2^{-n}\sum_{i=0}^n\binom ni\sqrt 5^i-(-1)^i\sqrt 5^i\\ &=2^{-n}\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}2\binom{n}{2i+1}\sqrt 5^{2i+1}\\ &=2^{1-n}\sqrt 5\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2i+1}\sqrt 5^{2i}\\ &=2^{1-n}\sqrt 5\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2i+1}5^{i} \end{aligned} \]

由计算得知 \(n=33\)。
考虑原问题要求偶数,我们研究 \(\texttt{Fibonacci}\) 数列的奇偶性,打表观察规律:

\(i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\)
\(f_i\) \(0\) \(1\) \(1\) \(2\) \(3\) \(5\) \(8\) \(13\) \(21\) \(34\)
奇偶性 \(\texttt{even}\) \(\texttt{odd}\) \(\texttt{odd}\) \(\texttt{even}\) \(\texttt{odd}\) \(\texttt{odd}\) \(\texttt{even}\) \(\texttt{odd}\) \(\texttt{odd}\) \(\texttt{even}\)

标签:right,dfrac,sum,texttt,sqrt,计划,欧拉,left
来源: https://www.cnblogs.com/JIEGEyyds/p/16597107.html

本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享;
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除;
5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

专注分享技术,共同学习,共同进步。侵权联系[81616952@qq.com]

Copyright (C)ICode9.com, All Rights Reserved.

ICode9版权所有