标签：prime 标记 质数 枚举 素数 质因数 方法 四种

为什么会想写这个东西呢？主要是最近开始练习哈希，最大质数不会找，所以就顺道学了学素数筛。

实际上，这个已经搁置了了好几天的，SD夏令营D4又仔细讲了讲，就补一下坑

OK，进入正题

素数筛，就是筛素数的

方法一：枚举1到n

我最开始的做法是从1到n枚举，找有没有能%的，但这样太慢，数一大，T到无法想象

判断一个数是不是素数这个做法是On的，求1-n的素数是O_n² 的

方法二：枚举到√n

一个数如果是和数，肯定是由一个大数乘一个小数或两个相等的数相乘（也有特例，49=7×7），所以只要枚举不大于√n的数就行了，效率有所提高

判断一个数是不是素数这个做法是O_√n的，求1-n的素数是O_n√n的

方法三：埃式筛（埃拉托斯特尼筛）

一个和数可以分解成许多质数，所以，每求出一个质数，我们就可以预处理一下，用它乘上1，2，3，4……将乘出来的和数都打上标记（素数的积不是素数）

void make_prime(int x)
{
    for(rint i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            for(rint j=i*i;j<=x;j+=j)
            {
                vis[j]=1;
            }
        }
    }
    for(rint i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!vis[i])    printf("%d ",i);
    }
}

复杂度O_nlogn

方法四：欧拉筛

欧拉筛有一个问题，那就是重复打了标记

e.g.

12，在3×4时被打了标记，在2×6也被打了标记

我们想办法，让每一个和书都被它的最小质因数打上标记，这样可以保证每个数只被打一遍标记

void make_prime(int x)
{
    for(rint i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!vis[i])    
        {
            prime.push_back(i);
        }
        for(rint j=1;j<=prime.size()&&prime[j]*i<=x;++j)
        {
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(!(i%prime[j]))    break;//保证一定是它的最小质因数把它打标记
        }
    }
}

比较重要的就是这句：if(i%prime[j]==0)break;
i%prime[j]==0，说明第j个质数(prime[j])是i的质因数，并且它是i的最小质因数（因为是从小到大枚举的）。
那么下一个质数prime[j+1]，就比i的最小质因数大了
那么prime[j+1]就不是i*prime[j+1]的最小质因数了。所以我们break掉。
i*prime[j+1]会在后面被筛到（具体来说，会在新的i’=i*prime[j+1]/prime[j]时被筛到）

标签：prime,标记,质数,枚举,素数,质因数,方法,四种
来源： https://www.cnblogs.com/yifan0305/p/16480441.html

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