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拓展欧拉定理漫谈

2022-06-20 00:36:35  阅读:101  来源: 互联网

标签:right 数列 定理 漫谈 varphi left 周期 欧拉 mod


已知数列$\left\{a_n\right\}: 3^1,3^2,3^3 \cdots$

问第2022项个位数字多少

这个小学找规律问题很简单,$3^n$个位数以3,9,7,1为循环节循环,照这个规律很容易得到答案

作为掌握一定数论知识的我们,当然要探其渊薮

个位数的本质是mod 10,而(3,10)=1,根据欧拉定理$3^{\varphi(10)}\equiv 1(mod 10)$ $\varphi(10)=4$ 所以周期为4

进一步思考的读者会有这样的发现:

设$a_n=a^n(a\in\mathbb{N^*},n\ge1)$那么对于所有a,$\left\{a_n(mod 10)\right\}$的公共周期为4

这是容易说明的,对所有a,$\left\{a^n(mod 2)\right\}$的公共周期为1

若$5\mid a$,则$\left\{a^n(mod 5)\right\}$的周期为1,若(5,a)=1则$\left\{a^n(mod 5)\right\}$周期为$\varphi(5)=4$

因此对所有$a\in\mathbb{N^*}$,$\left\{a^n(mod 10)\right\}$的公共周期为$[\varphi(2),\varphi(5)]=4$

现在回到正轨

由此看来,一般的自然数幂取模都具有周期性

对于底数为a,模数为m的数列$\left\{a^n(mod m)\right\}$,若(a,m)=1,根据朴素欧拉定理$\varphi(m)$为一个周期

但$\varphi(m)$不一定是最小周期,由此引出了初等数论中阶(又称指数)与原根的概念

定义:m>1,(a,m)=1,使$a^r\equiv 1(mod m)$成立的最小$r\in{N^*}$叫a对模m的阶,记作$\delta_m(a)$

原根定义:若$\delta_m(a)=\varphi(m)$,称a是mod m的一个原根

当然,阶与原根不是我们今天的主角,感兴趣的读者可以进一步了解相关有趣的性质与定理

好奇的读者会追问,如果a与 m不互素,周期性又是怎样的呢

先来看个例子 对于$\left\{2^n(mod 20)\right\}$

2 4 8 16 32 24 8 16 32 24 $\cdots \cdots$

后面8,16,32,24以4为周期循环,但前两项不符合规律

类比循环小数的定义,我们来定义模纯周期数列与模混周期数列

对于整数列$\left\{a^n\right\}$,存在常正整数T,若从它的第N项起,恒有$a_{n+T}\equiv a_n(mod m) (n\ge N)$成立

则称$\left\{a^n(mod m)\right\}$为模m的周期数列

当N=1时称为模纯周期数列,否则为模混周期数列

这两个概念很容易理解

对于一般的自然数取模数列,若(a,m)=1则必定为模纯周期数列

若a与 m不互素,则可能为模混周期数列

在程序设计中,为了求出高次幂取模,我们常常用欧拉定理化大指数为小指数,再利用快速幂解决

当(a,m)$\ne 1$时扩展欧拉定理便派上了用场

这基于我们一个猜想:模混周期数列的非循环部分长度一定不超过$\varphi(m)$

$a^b\equiv \left\{\begin{matrix} a^{b\:mod\:\varphi(m)}\quad(a,m)=1\\ a^b\quad(a,m)\ne1,b\le\varphi(m)\\ a^{b\:mod\:\varphi(m)+\varphi(m)}\quad(a,m)\ne1,b\ge\varphi(m) \end{matrix}\right. (mod\:m)$

由于$b\le \varphi(m)$时用快速幂暴力处理即可

下面给出$b\ge \varphi(m)$证明:

首先转化成数学语言,利用带余除法定理去掉mod符号 $\exists n,r$使b=n$\varphi(m)$+r其中$0\le r<\varphi(m)$ $a^b=a^{n\varphi(m)+r}$ $a^{b\:mod\:\varphi(m)+\varphi(m)}=a^{\varphi(m)+r}$ 只需证$a^{n\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}(mod\:m)$ 处理模合数的一般方法使是分解质因数,然后用CRT(中国剩余定理)逐个击破 设$p^k\parallel m$(注:$p^k$恰好整除m),则只需证$a^{n\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}(mod\:p^k)$ 采用素因子分析法,设$a=p^rb$ (p,b)=1 推出 ($p^ k$,b)=1 由欧拉定理 $b^{\varphi(p^k)}\equiv 1(mod\:p^k)$ 由欧拉函数积性,$\varphi(p^k)|\varphi(m)$ 所以 $b^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\:p^k)$ 利用这个式子对目标化简 $a^{n\varphi(m)}\equiv p^{nr\varphi(m)}(mod\:p^k)$ $a^{\varphi(m)}\equiv p^{r\varphi(m)}(mod\:p^k)$ 只需证 $p^{nr\varphi(m)}\equiv p^{r\varphi(m)}(mod\:p^k)$ 分类讨论 若r=0,显然成立 若r>0,根据$\varphi(m)\ge\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\ge 2^{k-1} \ge k$ 左右两边都同余到0,所以也成立

综上得证

这个证明的核心步骤是$a^{n\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}(mod\:m)$

任取$n\ge 1$都成立,其实就是暗示模混周期数列的非循环部分长度一定不超过$\varphi(m)$,并且循环节的长度也不超过$\varphi(m)$

理解这个原理,就可以轻松做洛谷P5091 【模板】扩展欧拉定理啦

标签:right,数列,定理,漫谈,varphi,left,周期,欧拉,mod
来源: https://www.cnblogs.com/xvzichen/p/16391475.html

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