在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout’s identity）或贝祖定理（Bézout’s lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：
ax + by = m 有整数解时当且仅当m是d的倍数。
裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法(Extended Euclidean algorithm)求得。
例如，12和42的最大公因数是6，则方程12x+42y=6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。
特别来说，方程 ax+by=1 有整数解当且仅当整数a和b互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义： d其实就是最小的可以写成ax+by形式的正整数。(这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。)
证明:
如果
和 中有一个是 0，比如 ，那么它们两个的最大公约数是 。这时裴蜀等式变成 ，它有整数解 (x,y) 当且仅当 是 的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为 可以是任何整数。定理成立。
以下设 a和 b 都不为0。
设 ，下面证明A中的最小正元素是 a 与 b 的最大公约数。
首先， 不是空集（至少包含 和 ），因此由于自然数集合是良序的， 中存在 最小正元素 。考虑 中任意一个 正元素 对 的带余除法：设 ，其中 为正整数， 。但是
而 已经是集合 中最小的正元素了，又 ,所以 。
因此 。也就是说，A中任意一个正元素p都是 的倍数，特别地： 。因此 是 和 的公约数。
另一方面，对 a 和 b 的任意正公约数 ，设 ，那么
,因此 。所以 是 和 的最大公约数。
在方程 中，如果 ，那么方程显然有无穷多个解： 
相反的，如果 有整数解，那么 ，于是由前可知 （即 ）。
m=1时，方程有解当且仅当a、b互质。方程有解时，解的集合是
其中 是方程ax+by=d的一个解，可由辗转相除法得到。
所有解中，有且仅有一个解(x,y) 满足
。
为扩展欧几里得做铺垫的裴蜀等式
标签：知识点,方程,整数,最大公约数,等式,解时,裴蜀 来源： https://www.cnblogs.com/LQS-blog/p/16219326.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。