第5章 图论
一、图的基本概念
1.图的同构定义
设G=(V,E)和G’=(V’,E’)是两个图，如果存在V到V’的一一对应f使得
u
w
∈
E
(
u
w
→
∈
E
)
⇔
f
(
u
)
f
(
w
)
∈
E
′
(
f
(
u
)
f
(
w
)
→
∈
E
′
)
u w \in E(\overrightarrow{uw} \in E) \Leftrightarrow f(u)f(w) \in E'(\overrightarrow{f(u) f(w)} \in E^{\prime})
uw∈E(uw
∈E)⇔f(u)f(w)∈E′(f(u)f(w)
∈E′)
则称G与G’同构,并且称f是称G到G’的同构映射
完全图
K
5
K_5
K5,相互同构的图G和H
二、通路、回路与连通性
1.通路与回路
简单通路:边全不相同的通路称为简单通路
基本通路:结点全不相同的通路称为基本通路
回路:起点和终点相同的通路称为回路
简单回路:边全不相同的回路称为简单回路
基本回路:结点全不相同的回路称为基本回路（除去起点和终点）
2.连通性（若非平凡无向图G的任两点间都是可达的,则称G是连通图,否则称G是不连通图）
若非平凡有向图G忽略边方向后得到的无向图是连通的,则称G是连通的,否则称G是不连通的
设G是非平凡有向图，若G的任两点间都是相互可达的,则称G是强连通的
若G的任两点间至少一向可达的,则称G是单向连通的
若G忽略边方向得到的无向图连通,则称G是弱连通的
对有向图,
强
连
通
⊂
单
向
连
通
⊂
连
通
=
弱
连
通
强连通 \subset 单向连通 \subset 连通=弱连通
强连通⊂单向连通⊂连通=弱连通
三、图的矩阵表示
1.矩阵乘法
设A为
m
×
p
m \times p
m×p的矩阵，B为
p
×
n
p \times n
p×n的矩阵，那么称
m
×
n
m \times n
m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为
(
A
B
)
i
j
=
∑
k
=
1
p
a
i
k
b
k
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
⋯
+
a
i
p
b
p
j
(A B)_{i j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i p} b_{p j}
(AB)ij=∑k=1paikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aipbpj
A
=
[
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
]
A=\left[\begin{array}{lll} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \end{array}\right]
A=[a1,1a2,1a1,2a2,2a1,3a2,3]，
B
=
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
b
3
,
1
b
3
,
2
]
B=\left[\begin{array}{ll} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ b_{3,1} & b_{3,2} \end{array}\right]
B=⎣⎡b1,1b2,1b3,1b1,2b2,2b3,2⎦⎤
C
=
A
B
=
[
a
1
,
1
b
1
,
1
+
a
1
,
2
b
2
,
1
+
a
1
,
3
b
3
,
1
,
a
1
,
1
b
1
,
2
+
a
1
,
2
b
2
,
2
+
a
1
,
3
b
3
,
2
a
2
,
1
b
1
,
1
+
a
2
,
2
b
2
,
1
+
a
2
,
3
b
5
,
1
,
a
2
,
1
b
1
,
2
+
a
2
,
2
b
2
,
2
+
a
2
,
3
b
3
,
2
]
C=A B=\left[\begin{array}{ll} a_{1,1} b_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{1,3} b_{3,1}, & a_{1,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,2}+a_{1,3} b_{3,2} \\ a_{2,1} b_{1,1}+a_{2,2} b_{2,1}+a_{2,3} b_{5,1}, & a_{2,1} b_{1,2}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} \end{array}\right]
C=AB=[a1,1b1,1+a1,2b2,1+a1,3b3,1,a2,1b1,1+a2,2b2,1+a2,3b5,1,a1,1b1,2+a1,2b2,2+a1,3b3,2a2,1b1,2+a2,2b2,2+a2,3b3,2]
例 图G的邻接矩阵分别如下
A = [ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 ] A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0011100001100101010101001⎦⎥⎥⎥⎥⎤
(1) 求 A 2 A^2 A2， A 3 A^3 A3
A 2 = [ 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 2 0 2 1 2 2 2 ] A^2=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} A2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡2111201001102121112201002⎦⎥⎥⎥⎥⎤
A 3 = [ 2 0 3 3 0 2 1 2 2 2 3 0 2 3 0 3 0 3 2 0 6 2 4 6 3 ] A^3=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 4 & 6 & 3 \end{bmatrix} A3=⎣⎢⎢⎢⎢⎡2233601002322343232602003⎦⎥⎥⎥⎥⎤
(2) G内列出每两个结点间的距离（求最短）
若两个结点不可达，则其之间的距离为无穷
(3) 列出G中所有的基本回路
131，141，1431，1341
252
313，343，3143，3413
414，434，4134，4314
55，525
四、欧拉回路基本概念
1.定义
如果图G（有向图或者无向图）中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。
如果图G中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
2. 定理及推论
欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
2.1 推论1
当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。
2.2 推论2
当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
3.欧拉通路回路存在的判断
根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法，定理和推论是来自离散数学的内容，这里就给出简明的判断方法：
3.1 判断欧拉通路是否存在的方法
有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。
3.2 判断欧拉回路是否存在的方法
有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。
4.欧拉回路的应用
A.哥尼斯堡七桥问题
B.一笔画问题
C.旋转鼓轮的设计
标签：图论,通路,入度,连通,回路,顶点,欧拉 来源： https://blog.csdn.net/weixin_46230159/article/details/120864083
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