标签：lvert 图论 langle rvert 结点 离散数学 rangle deg
这里是离散数学图论的学习笔记，然而由于学校的关系跳过了集合论、序偶、二元关系等一些可能运用到的基础知识，所以可能数学符号和表述方面会有一些问题 qaq
\[\newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \rule{750px}{1px} \]图是一个三元组 \(\langle V(G), E(G), \varphi_G \rangle\)（或四元组 \(\langle V(G), E(G), \varphi_G, \psi_G \rangle\)），其中 \(V(G)\) 为图的结点集，\(E(G)\) 为图的边集，\(\varphi_G\) 为 \(E(G)\) 中元素到序偶的函数，\(\psi_G\) 为 \(E(G)\) 中的元素到任意字符集 \(S\) 的函数。我们通常将图简记为 \(G = \langle V, E \rangle\)， 我们要求 \(V\) 为非空集合。
现在给出一些定义：如果图中所有边都用有序偶 \(\langle v_i, v_j \rangle\) 表示，则称其为有向图，如果所有边都用无序偶 \((v_i, v_j)\) 表示，则称其为无向图。如果既有无序偶又有有序偶的图称为混合图。
只有孤立节点的图为零图，只有单个节点的零图称为平凡图。（trivial !）
如果一条边在 \(V\) 中出现多次，则称这些边为平行边，出现的次数称为这条边的重数。如果一条边的起点和终点（两个端点）相同，则我们称这条边为自回路或环。
我们定义不含平行边的图为线图，不含自回路的线图称为简单图。
与结点 \(u\) 相关联的边数为该节点的度数，记作 \(\deg(u)\)；其中以结点 \(u\) 为起点的边数为出度，记作 \(\deg^+(u)\)，以结点 \(u\) 为终点的边数为入度，记作 \(\deg^-(u).\)
我们显然有：
\[\begin{align} & \deg(u) = \deg^+(u) + \deg^-(u) \tag{1} \\ & \sum_{u \in V} \deg(u) = 2 \lvert E \rvert \tag{2} \\ & \sum_{u \in V} \deg^+(u) = \sum_{u \in V} \deg^-(u) = \lvert E \rvert \tag{3} \end{align} \]有了这些结论，注意到 \((2)\) 式表明任何图中所有节点度数之和为偶数，我们容易得到一个推论，任何图中，奇数度数的节点一定有偶数个。
我们给出完全图的概念，如果简单图 \(G = \langle V, E \rangle\) 中，如果每一对点都有边将其相连，则该图称为完全图。\(n\) 个点的完全图记作 \(K_n.\) 显然，\(K_n\) 有 \(\dbinom{n}{2}\) 条边。
如果给定一个图 \(G\)，由图 \(G\) 中所有结点和所有能使 \(G\) 变成一个完全图所需添加的边构成的图被称为 \(\overline{G}\)。
设图 \(G = \langle V, E \rangle, G' = \langle V', E' \rangle\)，其中 \(V' \subseteq V, E' \subseteq E\)，则称 \(G'\) 为 \(G\) 的子图。如果 \(\lvert E' \rvert = \lvert E \rvert\)，则 \(G'\) 称为图 \(G\) 的生成子图。如果图 \(G'' = \langle V'', E'' \rangle\) 使得 \(E'' = E - E'\)，\(V''\) 中仅包含 \(E''\) 中的边关联的结点，则图 \(G''\) 称为 \(G'\) 相对于 \(G\) 的补图。
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