本系列文章将于2021年整理出版。前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社
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丢番图（Diophantus）是古希腊人，于公元前300年编写的《算术》，是最早的代数书。
1. 二元线性丢番图方程
方程\(ax + by = c\)被称为二元线性丢番图方程，其中\(a、b、c\)是已知整数，\(x、y\)是变量，问是否有整数解。
\(ax + by = c\)实际上是二维\(x-y\)平面上的一条直线，这条直线上如果有整数坐标点，方程就有解，如果没有整数坐标点，就无解。如果存在一个解，就有无穷多个解。
下面的定理给出了有解的判断条件和通解的形式。
定理[1]：设a，b是整数且\(gcd(a, b) = d\)。如果\(d\)不能整除\(c\)，那么方程\(ax + by = c\)没有整数解，如果\(d\)能整除\(c\)，那么存在无穷多个整数解。另外，如果(\(x_0，y_0\))是方程的一个特解，那么所有的解（通解）可以表示为：
\(x = x_0 + (b/d)n\)
\(y = y_0 - (a/d)n\)
其中\(n\)是任意整数。
定理可以概况为：\(ax + by = c\)有解的充分必要条件是\(d = gcd(a, b)\)能整除\(c\)。
例如：
（1）方程18x + 3y = 7没有整数解，因为gcd(18, 3) = 3，3不能整除7；
（2）方程25x + 15y = 70存在无穷个解，因为gcd(25, 15) = 5且5整除70，一个特解是\(x_0\) = 4，\(y_0\) = -2，通解是x = 4 + 3n，y = -2 - 5n。
下面借助平面图解释定理。
定理的前半部分：令\(a = da'，b = db'\)；有\(ax + by = d(a' x + b' y) = c\)；如果\(x、y、a'、b'\)都是整数，那么\(c\)必须是\(d = gcd(a, b)\)的倍数，才有整数解。
定理的后半部分给出了通解的形式：\(x\)值按\(b/d\)递增，\(y\)值按 \(- a/d\)递增。设(\(x_0，y_0\))是一个格点（格点是指\(x、y\)坐标均为整数的点），移动到直线上另一个点(\(x_0 + ∆x，y_0 + ∆y\))，有\(a∆x + b∆y = 0\)。\(∆x\)和\(∆y\)必须是整数，(\(x_0 + ∆x，y_0 + ∆y\))才是另一个格点。\(∆x\) 最小是多少？因为\(a/d\)与\(b/d\)互素，只有\(∆x = b/d，∆y = - a/d\)时，\(∆x\)和\(∆y\)才是整数，并满足\(a∆x + b∆y = 0\)。
下面用一个例题来加强对定理的理解。
线段上的格点数量
题目描述：在二维平面上，给定两个格点p1 = (x1, y1)和p2 = (x2, y2)，问线段p1 p2上除了p1 、p2外还有几个格点？设x1 < x2。
题解：此题用暴力法逐一搜索格点复杂度太高，下面用丢番图方程的定理来求解。
思路：首先利用\(p1 、p2\)把线段表示为方程\(ax + by = c\)的形式，它肯定有整数解。然后在线段范围内，根据\(x\)的通解的表达式\(x = x_0 + (b/d)n\)（用\(y = y_0 - (a/d)n\)也一样），当\(x_1 < x < x_2\)时，求出\(n\)的取值情况有多少个，这就是线段内的格点数量。
用\(p_1 、p_2\)表示线段，经过化简，线段表示为：
\((y_2 - y_1)x + (x_1 - x_2)y = y_2 x_1 - y_1 x_2\)
对照\(ax + by = c\)，得\(a = y_2 - y_1，b = x_1 - x_2，c = y_2 x_1 - y_1 x_2，d = gcd(a, b) = gcd(|y_2 - y_1|, |x_1 - x_2|)\)。
对照通解公式\(x = x_0 + (b/d)n\)，令特解是\(x_1\)，代入限制条件\(x_1 < x < x_2\)，有：
\(x_1 < x_1 + (x_1 - x_2/d)n < x_2\)
当 \(- d < n < 0\)时满足上面的表达式，此时\(n\)有\(d - 1\)种取值，即线段内有\(d - 1\)个格点。
下面是一个较难的题目。
Area poj 1265
题目描述：给出二维平面上的一个封闭的多边形，多边形的顶点都是格点。请计算多边形边界上格点数量\(j\)，内部格点数量\(k\)，以及多边形的面积\(s\)。
题解：边界上的格点\(j\)用前面的方法计算，面积\(s\)用几何叉积计算，最后内部的格点\(k\)通过Pick定理计算。
Pick定理：在一个平面直角坐标系内，如果一个多边形的顶点都是格点，多边形的面积等于边界上格点数的一半加上内部格点数再减一，即\(s = j/2 + k-1\)。
求解方程\(ax + by = c\)的关键是找到一个特解。根据定理的描述，解和求GCD有关，所以求特解用到了欧几里得求GCD的思路，称为扩展欧几里得算法。
2. 扩展欧几里得算法
方程\(ax + by = gcd(a, b)\)，根据前一节的定理，它有整数解。扩展欧几里得算法求一个特解\((x_0，y_0)\)的代码如下[2]：
//返回 d = gcd(a,b); 并返回 ax + by = d的特解x,y
typedef long long ll;
ll extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b == 0){ x=1; y=0; return a;}
ll d = extend_gcd(b,a%b,y,x);
y -= a/b * x;
return d;
}
有时候为了简化描述，把\(ax + by = gcd(a, b)\)两边除以\(gcd(a, b)\)，得到\(cx + dy = 1\)，其中\(c = a/gcd(a, b), d = b/gcd(a, b)\)。\(c，d\)是互素的。\(cx + dy = 1\)的通解是：\(x = x_0 + dn，y = y_0 - cn\)。
3. 二元丢番图方程\(ax + by = c\)的解
用扩展欧几里德算法得到\(ax + by = gcd(a, b)\)的一个特解后，再利用它求方程\(ax + by = c\)的一个特解。步骤如下：
（1）判断方程\(ax + by = c\)是否有整数解，即\(gcd(a,b)\)能整除\(c\)。记 \(d = gcd(a,b)\)。
（2）用扩展欧几里得算法求\(ax + by = d\)的一个特解\(x_0，y_0\)。
（3）在\(ax_0 + by_0 = d\)两边同时乘以\(c/d\)，得：
\(a x_0 c/d + b y_0 c/d = c\)
（4）对照\(ax + by = c\)，得到它的一个解(\(x_0', y_0'\))是：
\(x_0' = x_0 c / d\)
\(y_0' = y_0 c / d\)
（5）方程\(ax + by = c\)的通解：
\(x = x_0' + (b/d)n\)
\(y = y_0' - (a/d)n\)
4. 多元线性丢番图方程
多元线性丢番图方程\(a_1x_1 + a_2x_2 + ... a_nx_n = c\)在算法竞赛中很少见。为扩展思路，这里也给出介绍。
定理：如果\(a_1，a_2，...，a_n\)，是非零整数，那么方程\(a_1x_1 + a_2x_2 + ... a_nx_n = c\)有整数解，当且仅当\(d = gcd(a_1，a_2，...，a_n)\)整除\(c\)。如果存在一个解，则方程有无穷多个解。
定理可以用数学归纳法证明。
方程的计算步骤是：
（1）判断方程是否有解。计算
\(d_2 = gcd(a_1, a_2)\)
\(d_3 = gcd(d_2, a_3)\)
\(d_4 = gcd(d_3, a_4)\)
...
\(d_n = gcd(d_{n-1}, a_n)\)
如果\(d_n\)能整除\(c\)，方程有解。如果有解，继续以下步骤。
（2）求解。把方程分解为\(n - 1\)个二元方程：
\(a_1x_1 + a_2x_2 = d_2 t_2\)
\(d_2t_2 + a_3x_3 = d_3 t_3\)
...
\(d_{n-1}t_{n-1} + a_nx_n = c\)
然后从最后一个方程开始，依次往前求解。特解容易求得，通解的表达很麻烦。
标签：方程,21,--,丢番,格点,整数,ax,gcd 来源： https://www.cnblogs.com/luoyj/p/13394962.html
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