标签：prime frac gcd int 欧几里得 扩展 整数 算法 mod

欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

证明
记a|d表示a可以整除d(d为a的倍数)
设d为a和b的公约数，即d|a，d|b。
a mod b = a-kb，显然d也为a mod b 的和b的公约数。

设d为a mod b和b的公约数，即d|b，d|(a mod b)
则有d|(a-kb)，因为\(\frac{a}{d}-k\frac{b}{d}\)和\(\frac{b}{d}\)为整数，所以\(\frac{a}{d}\)必为整数，即d也为a和b的公约数。

综上，(a,b)与(b,a mod b)有相同的公约数，故其最大公约数也相等。

C++实现

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);//其实b比a大时也是对的
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

证明
我们先假设\(ax+by=gcd(a,b)\)①存在整数解，令\(r=a\%b\)，
根据假设我们又可以得到个式子：
\(bx^{\prime}+ry^{\prime}=gcd(b,r)=gcd(a,b)\)存在整数解，将\(r=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\)带入并整理
得：\(b(x^{\prime}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y^{\prime})+ay^{\prime}=gcd(a,b)\)②
我们发现①②具有相同的形式，即①式的解可以从②式中获得：
\(x=y^{\prime},y=x^{\prime}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y^{\prime}\)
这就是说只要我们找到②式的解，就能得到①式(上一层)的解。
根据相同的形式，从②式的原式我们又可以得到\(rx^{\prime\prime}+r^{\prime}y^{\prime\prime}=gcd(r,r^{\prime})=gcd(a,b),r^{\prime}=b\%r\)...
根据欧几里得，这个过程会有一个尽头：
\(dx+0y=gcd(a,b)\)，其中\(d=gcd(a,b)\)，为使等式成立，我们可以令\(x=1,y=0\)(当然也可以为其他值)
这就找到了一组可行解，在一层层倒退回去，就能得到原始方程的一组整数解。

C++实现

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    //x为a的解，y为b的解
    if(b==0){//到达尽头
        x=1,y=0;
        //y可赋任意整数值
        return a;//返回最大公因数
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    //此时的x,y为下一层的解
    int temp=y;
    y=x-a/b*y;//把y变成当前层解
    x=temp;//把x变成当前层解
    return d;
}

标签：prime,frac,gcd,int,欧几里得,扩展,整数,算法,mod
来源： https://www.cnblogs.com/hetailang/p/15872969.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。