题目 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2257 给定 \(n,m\)，求 \(\gcd(a,b)\) 为质数且 \(1\leq a\leq n,1\leq b\leq m\) 的 \((a,b)\) 有多少对。 思路 经典的莫比乌斯反演模板题。 设 \(f(i)\) 表示 \(\gcd(a,b)=i\) 的方案数，设 \(F(i)\) 表示 \(\gcd(a,b)\) 为 \(i\)
题目链接 \[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m d(ij)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j} [(x,y)=1]\\ &=\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m[(x,y)=1]\lfloor \frac{n}{x}\r
题目 P1403 [AHOI2005]约数研究 简化题意 \(f(x)\) 表示 \(\sum\limits_{i = 1} ^ {x} [i\mid x]\) 求 \(\sum\limits_{i = 1}^{n} f(i)\)。 思路 整除分块。 一个数 \(i\) 在 \(1 \sim n\) 中它的倍数一共有 \(\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor\) 个，即 \(i\) 对答案的贡
题目链接： 题目 博客园 题目大意： 快速求： \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}\left[\operatorname{gcd}(i,j)==d\right] \]正文： 将式子化简： \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}\left[\operatorname{gcd}(i,j)==d\right] &= \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}
题意：求$\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}lcm(i, j)$ 思路： $\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}lcm(i, j)$ $= \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{i * j}{\gcd(i, j)}$ $= \sum_{d}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{i * j}{d}[\gcd(i, j)=d]$ $= \sum_{d
题面 题解 设 \(\mathbf f' = \mathbf f * \mu\)，\(G_{\mathbf f} (n) = \sum_{n | d} \mathbf f(d)\)，记 \((i, j) = \gcd(i, j)\)，\([i, j] = \operatorname{lcm}(i, j)\)。 令 \(S_i=A_{id}, T_i = B_{id}, W_i = D_{id}, m = \left\lfloor \frac nd \ri
题意： 给定$a, b, d$,求满足$1 \leq x \leq a , 1 \leq y \leq b$且$\gcd(x, y)=d$的二元组${x, y)$的数量 思路：$\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{b}[\gcd(x, y)=d]$ 简化式子： $\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{a}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{b}{d}\rfloor}[\gcd(x, y)=1]$ 将$[\
前言 杜教筛是杜瑜皓引入国内的一种非线性复杂度内求积性函数前缀和的算法。 对于前 \(n^{2/3}\) 的范围线性筛，其余进行递归处理。 时间复杂度 \(O(n^{2/3})\) 前置知识 狄利克雷卷积 常见的积性函数 实现 假设我们要求 \(sum(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)\) ,不妨构造 \(g\)
选择 题解： 其实画一画很容易知道：偶数个的话，最多选\(\left \lfloor \frac{i}{2}\right \rfloor\)；奇数个的话，可以选\(\left \lfloor \frac{i}{2}\right \rfloor\)个也可以选\(\left \lfloor \frac{i}{2}\right \rfloor+1\)个 我们就设dp[i][0]表示前i个选了\(\left
题目链接 找找规律就能看出来最后元组的结果在\(k\)任意取的条件下，\(n\)只要满足\(n\%k=0\)或者\(n\%k=1\)即可。那求的就是\(\sum\limits_{i=1}^{k}{\lfloor \frac{N}{k} \rfloor}+\sum\limits_{i=1}^{k}{\lfloor \frac{N-1}{k} \rfloor}\)。数论分块处理一下就行了。写代码的时
https://www.luogu.com.cn/problem/P1829 莫比乌斯反演 \[令n\le m \\ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\\ =\sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} ijk[\gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{k=1}^n k \sum_{i
问题 给定整数 \(n,p(1\le n\le 10^{12})\)，求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\bmod p\)。 思路 暴力做肯定会超时。我们发现加数中有许多是相同的，并且这些加数单调不增（即相同加数必定在一起）。如果找出每段相同加数的长度，就能很快得到答案。 也就是说，如果对于
Description 给定 \(N, M\)，求 \(1 \leq x \leq N\)，\(1 \leq y \leq M\) 且 \(\gcd(x, y)\) 为质数的 \((x, y)\) 有多少对。\(T = 10^4\)，\(N, M \leq 10^7\)。 Solution 首先按套路推导出 \[ans=\sum_d \lfloor \frac N d \rfloor \lfloor \frac M d \rfloor \sum_{
数论进阶 扩展欧几里得算法 裴蜀定理（Bézout's identity） \(1\) ：对于任意整数 \(a\)，\(b\) ，存在一对整数 \(x\) ，\(y\) ，满足 \(ax+by=GCD(a,b)\) 。 2：对于任意整数 \(a\)，\(b\) ，二元一次不定方程 \(ax+by=c\) 有整数解 \((x,y)\) 当且仅当 \(GCD(a,b)|c\) 。 扩展欧几里得算法（Exte
杜教筛小记 对于一个积性函数\(F(n)\)，要在较低时间内求前缀和\(S_F(n)=\sum_{i=1}^nF(i)\) 假设我们能找到一个函数\(G(n)\)使得\(G(n),S_{F \oplus G}(n)\)能在较短时间内算出 其中\((F\oplus G)(n)=\sum_{d|n}F(d)G(\frac{n}{d})\) 那么就有 \(S_{F\oplus G}(n)=\sum_1^n G(i)F(
莫比乌斯反演： 1. $F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Rightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$ 2. $F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Rightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$ 1. [POI2007]Zap 题目链接：bzoj - 1101 题意：对于给定的整数a，b和d，有多少正整数对x，y，满足x$\leq$a，y$\leq$b，
https://www.luogu.com.cn/problem/SP22412 Description 求\(n!\)的因子个数，对\(m\)取模。 多组询问 \(n < 10^8, m < 10^9\) Solution 把\(n!\)分解质因数，考虑一个质数\(p\)的指数，显然为 \(\lfloor n/p \rfloor+ \lfloor n/p^2 \rfloor + \lfloor n/p^3 \rfloor + \cdots\) 答案
B. ashon37w likes math Given n, m, find how many pairs of positive integers (x, y) satisfy the equation set below. \[\left\{\begin{array}{c}x+y=n\\\lfloor\frac{x}{y}\rfloor+\lceil\frac{y}{x}\rceil=m\\\end{array}\right. \]\[ {\lfloor x
博客园同步 原题链接 简要题意： 求 ∑i=1n∑j=1md(ij)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d(ij)i=1∑nj=1∑md(ij) 其中，d(x)d(x)d(x) 表示 xxx 的因数个数。 算法一 爆搜。 时间复杂度：O(Tnmnm)O(Tnm \sqrt{nm})O(Tnmnm).（TTT 的飞起） 期望得分：0pt0pt0pt. 算法二 考虑每个数作为其
CSDN同步 原题链接 简要题意： 求 \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d(ij) \]其中，\(d(x)\) 表示 \(x\) 的因数个数。 算法一 爆搜。 时间复杂度：\(O(Tnm \sqrt{nm})\).（\(T\) 的飞起） 期望得分：\(0pt\). 算法二 考虑每个数作为其它数因数所产生的贡献。 时间复杂度：\(O(T \times \min(n,m))\)
Description 给定两个正整数 \(n,m(m≤n)\)，对于一个 \(n\) 阶 \(0-1\) 方阵， 其任意 \(m\) 阶子方阵中至少有一个元素 \(“0”\)，则可以求解这个方阵中的 \(“1”\) 的最大数目。现求解这个问题的逆向问题：已知这个最大数目为 \(X\)，求相应的 \(n\) 和 \(m\)。 Solution 设法让每个 \(
恶心至极！！！！！！！！ 题目链接 思路 求 \(\sum\limits_{i = 1}^{n} (n \mod i)\sum\limits_{j=1}^{m}(m\mod j)[i\neq j]\) 假设没有限制情况\(i\neq j\) \(\sum\limits_{i = 1}^{n} (n \mod i)\sum\limits_{j=1}^{m}(m\mod j)\) 只看左半部分： \(\ \ \ \sum\limits_{i=1}^{n}(n
bzoj4173 数学 欧拉\(\varphi\)函数，变形还是很巧妙的 求： \[\varphi(n)\cdot\varphi(m)\cdot\sum_{n\bmod k+m\bmod k\ge k}\varphi(k)\bmod 998244353,n,m\le 10^{15} \] 首先，对\(\sum\)下面那一坨进行变形 很容易知道，\(n\bmod k+m\bmod k=n-\lfloor\dfrac{n}{k}\rfloor\cdot k+
求\(\sum{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor}\) 慢且麻烦的一般方法： 设 \(s=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\) 对于s<=的暴力计算，>s的分块算 常数很大 考虑\(\sum{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor}\)的意义，发现等同于求(x,y)使得xy<=n的对数 把图画出来
题意: 求 x 在[1, n]范围内，y 在[1, m]范围内的满足 gcd(x, y) = k 的x,y对数。 题解： 如果f(k) 表示题目范围内gcd(x, y)=k 的对数，但是这个f(k)比较"难求"。我们发现gcd(x,y) %k == 0的x,y对数却很好求。我们先用 F(k) 表示 gcd(x,y) % k == 0 的对数。这时就想能不能用F(k) 去求
