标签:lfloor frac sum rfloor 杜教 nF oplus 小记
杜教筛小记
对于一个积性函数\(F(n)\),要在较低时间内求前缀和\(S_F(n)=\sum_{i=1}^nF(i)\)
假设我们能找到一个函数\(G(n)\)使得\(G(n),S_{F \oplus G}(n)\)能在较短时间内算出
其中\((F\oplus G)(n)=\sum_{d|n}F(d)G(\frac{n}{d})\)
那么就有
\(S_{F\oplus G}(n)=\sum_1^n G(i)F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)
\(G(1)F(n)=S_{F\oplus G}(n)-\sum_2^nG(i)F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)
这个\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的个数是\(O(\sqrt n)\)的
当\(n\)较小时可以直接预处理出来前\(m\)个
不要存状态\(\text{dp}\),直接递归求解用\(\text{map}\)维护记录即可
当\(m=n^{\frac{2}{3}}\)时,复杂度最优为\(O(n^{\frac{2}{3}})\)
求\(S_\mu(n)\)
由于\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
那么就知道可以构造\(G(n)=1\)
则\((F\oplus G)(n)=[n=1]\)
\(S_{F\oplus G}(n)=1\)
\(F(n)=S_{F\oplus G}(n)-\sum_2^nF(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)
标签:lfloor,frac,sum,rfloor,杜教,nF,oplus,小记 来源: https://www.cnblogs.com/chasedeath/p/13092808.html
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