不妨设 \(f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=A\)，即 \(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,s.t.\forall x \in U^\circ(0,\delta),|\frac{f(x)}{x}-A|<\epsilon\) 不妨设 \(x>0\)，得 \(x(A-\epsilon)<f(x)<x(A+\epsilon)\) 当 \(\
不能能洛必达，邻域不可导 (1) \[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-f(0)}{x}-\frac{f(x)-f(0)}{x-0}==\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x}-f'(0)=1 \](2) \[\lim_{x \to 0} \frac{2^xf(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{
\(\lim_{x \to 0^+}\cos \frac{1}{x}\) 不存在，同时 \(-1 \le \cos \frac{1}{x} \le 1\) 右连续：\(\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)=0\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+}x^a\cos \frac{1}{x}=0\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+}x^a=0\)，所以 \(a > 0\) 右导数不存在：\(\lim_{x \to
(1) 设 \(f(x)=|x|\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点连续 且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{|x|-|-x|}{x}=0\) 存在 因为 \(f_+'(x)=1,f'_-(x)=-1\)，所以 \(f'(x)\) 不存在 所以 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处（不一定）可导 (2) 设 \(\lim_{x
是否存在这样的函数 \(f\)，使得 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可导 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 中存在间断点 考虑 \(f(x)=\begin{cases}0 & \quad (x=0)\\ x^2 \sin \frac{1}{x} & \quad (x \ne 0)\end{cases}\) 当 \(x \ne 0\) 时，有 \(f'(x)=2x\sin\frac{1}{x
很考验观察力的一道题 首先发现，若每个人都给左边人小球，那每个人给的小球数就可以都减去一 形式化的，我们只需要考虑存在一个人给的小球数为零的情况 还是按套路来 可以把式子组合意义化（组合意义化后式子总会好推很多） 其实就是每个人从剩下的小球中选一个的总方案 此时选球的情况只
对泊松分布的一点理解 如题，自从知道（或者说听说更恰当）了泊松分布之后，就一直很奇怪它的原理。所以找了一些资料来帮助理解。 果然，像老师说的那样：概率统计并不好学，觉得简单的人只不过是还没有完全掌握。 泊松分布和二项分布 泊松分布和二项分布之间有极限近似关系，就说明它们之间
极限-题源1 证明对应： ∀ k ∈ N \forall k \in N ∀k∈N下面极限为0。
\(f[i][j][k]\) 表示在第 \(1 \sim i-1\) 个人已经打完饭的情况下，第 \(i\) 个人以及 \(ta\) 后面的 \(7\) 个人是否打饭的状态为 \(j\)，上一个打饭的人是第 \(i + k\) 个人 因为是十进制转二进制，所以二进制的最后一位是表示的是第 \(i\) 个人的状态 且 \(k\) 的取值范围是 \(-8 \l
优雅程度能和莫队分庭抗礼了 树上启发式合并 启发式合并，是一种基于人类直觉的优化方法。 在永无乡那个题中已经证过了 树上启发式合并，在树上按照子树大小来合并子问题求解 证明 我们反过来考虑，如果你写了一个启发式合并。我是一个弱智出题人，认为这个算法是错误的，想要卡掉你，我会怎
noip模拟62 solutions 哈哈，这应该是我第一次\(rank1\)吧，还是个并列的，没事好势头 所以前两个题确实水，所以这就是我后两个题改了一上午+一晚上的理由？？？ T1 Set 这个只要找到一个规律就是这些数里面一定会有一段连续的可以使和被整除 证明：首先这里一共有\(1e6\)个数，在\(\mod 1e6\)的条
洛必达法则求极限 洛必达法则 未定式：如果当 \(x \rightarrow a(\text{或 } x \rightarrow \infty)\) 时两个函数 \(f(x)\) 与 \(F(x)\) 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a \\(x \rightarrow \infty)}{\cfrac{f(x)}{F(x)}}\) 可能存在、也可能
经简单分析可知 若是 \(n = 0\)，那么以后的比赛将会有周期性：\(1,2,3,\dots,m\)。 进一步来说，一定存在某个值使得，当 k 高于这个值的时候将会呈现于 m 有关的周期性。仔细分析之后可知，这个值为 \(h\times m - n\)。 所以我们只要考虑 k 小于这个临界值的询问（大于的直接取模就行 再将
重读微积分（一）：极限 重读微积分（二）：三个极限常数的来源 本系列所有代码都用R语言完成。 5 洛必达法则 令 N N N为常数，则常规的极限运算大致有以下几种
复变函数的极限和连续性 函数的极限 定义 设函数 w = f ( z ) w=f(z)
定义常量 \(e\) 有 \[e=\lim_{n\to +\infty} (1+\frac1n)^n \]这个定义在如下导函数性质证明中发挥巨大威力： \[f(x)=\log_ax,f'(x)=\frac{1}{x\ln a} \]\[f(x)=a^x ,f'(x)=x^a\ln a \]具体推导均可以使用定义式进行，即 \[f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta\ x} \]中间都会遇
1. 信号知识点 1. 信号知识点 1.1. 信号的分类 1.1.1. 确定信号和随机信号1.1.2. 连续时间信号和离散时间信号1.1.3. 周期信号和非周期信号1.1.4. 对称信号和非对称信号1.1.5. 能量有限信号，功率有限信号，能量功率均无限信号1.1.6. (反)因果信号、非因果信号1.1.7. 左边信号、
高等数学选修（一） 映射 定义 设 \(X,Y\) 为两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\)，使得 \(X\) 中的每个元素 \(x\)，按照法则 \(f\)，在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应，那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记作 \[f:X\to Y \]其中 \(y\) 称为元素 \(x\)（在映射 \(f\) 下）的
刚好FWT和SG函数都刚学，这道题也挺模板的，就拉来做做。 手动打个SG函数表发现\(sg[2^k+n]=n+1\)，然后博弈论就被干掉了，剩下的问题变成，有\(m\)个数可以选，选择\(v\)个数使得异或和为\(0\)。 这道题题意有锅吧，正确表述应该是大小为\(V\)的序列，而不是集合，因为方案数跟选取顺序有关。 令\(
1. 前言 在上一篇文章 Go微服务: 令牌桶 当中简单的介绍了令牌桶实现的原理，然后利用 /x/time/rate 这个库 10 行代码写了一个基于 ip 的 gin 限流中间件，那这个功能是怎么实现的呢？接下来我们就从源码层面来了解一下这个库的实现。这个实现很有意思，并没有真正的使用一个定时器不断的
1. 令牌桶 1.1 原理 我们以 r/s 的速度向桶内放置令牌，桶的容量为 b , 如果桶满了令牌将会丢弃 当请求到达时，我们向桶内获取令牌，如果令牌足够，我们就通过转发请求 如果桶内的令牌数量不够，那么这个请求会被缓存等待令牌足够时转发，或者是被直接丢弃掉 由于桶的存在，所以令牌桶算法不
AtCoder Beginner Contest 216 掉大分场，H 涉及 LGV 引理所以锅了。 \(\mathcal{A\sim D}\) A 简单判断，B 简单模拟，C 简单贪心，D 简单模拟。 \(\mathcal E\) 给定初始序列 \(A\)，每次可以选择一个 \(a_i\)，将总价值加上它，然后令 \(a_i-1\)。 总共进行 \(m\) 轮，求最终得到的最大价值数
对于初始排列，就是求原序列的逆序对数。 对于逆序对我们可以拆开来算，用 \([i,j]\) 表示满足 \(a_u =i,a_v=j,i>j\) 二元组 \((u,v)\) 个数。 那么初始答案可以表示为 \(\sum\limits_{i = 1}^{k}\sum\limits_{j = i + 1}^{k}[i,j]\)。 推导之后可以得到，对于一次交换，令交换的两个数为
CodeForce 1550 A 考虑最少，我们可以将序列数字设为： \[1,3,5,7,9.... \]进行前缀和计算，找到 \(S\) 匹配到的区间值，其最少的数的个数即为对应大前缀和的下标。(这是一种时间复杂度更优的算法) #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int T,n; int main(){ cin>>T; w
1.Bomb 给一个数字\(N\)，求\(1\)~\(N\)有多少个数字的序列包含\(“49”\)子序列。 Input 第一行输入由整数\(T（1 <= T <= 10000）\)组成，表示测试用例的数量。对于每个测试用例，将有一个整数\(N（1 <= N <= 2 ^ {63}-1）\)作为描述。 Output 对于每个测试用例，输出一个数字代表1到N有多少个包
