2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)\,dx={\frac {1}{\max\{a,b\}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad a,b>0} Beweis In der Formel{\displaystyle \int {\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)\,dx=x\,
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx={\sqrt {2\pi }}} Beweis In der Formel {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\right]^{\alpha }dx=\alpha \cdot 2^{\a
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2}\,e^{-2ax}\,dx=a\,\log \left({\frac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\right)+\operatorname {arccot} a} ohne Beweis 2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\cos(2ax)\,dx={\sqrt {\pi }}\cdot e^{-a^{2}}\qquad a\in \mathbb {C} } 1. Beweis Verwende die Reihenentwicklung {\displaystyle \cos(2ax)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan \left({\frac {x}{z}}\right)}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {z!\,e^{z}}{z^{z}\,{\sqrt {2\pi z}}}}\right)\qquad {\text{Re}}(z)>0} Beweis (Zweite
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)dx=-G} Beweis Verwende die Fourierreihe {\displaystyle -\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{n}}}.
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\log \left(\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=-\pi \log 2} Beweis Aus der Fourierreihendarstellung {\displaystyle \log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}\log \left(\tan {\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx=0} ohne Beweis 0.2Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\log ^{2}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)dx={\frac {\pi ^{3}}{4}}} Beweis Di
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1-x^{z-1}}{1-x}}\,dx=\gamma +\psi (z)\qquad {\text{Re}}(z)>0} Beweis (Formel nach Gauß) {\displaystyle {\frac {1-x^{z-1}}{1-x}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left(x^{k-1}-x^{k+z-2}\right)}{\d
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} 1. Beweis {\displaystyle I^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)\,\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy\right)=\in
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(1+x)-\log 2}{1+x^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{8}}\log 2} ohne Beweis 0.2Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(1+x)-\log 2}{1-x^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}}
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x}{\sin x}}\,dx=2G} Beweis {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x}{\sin x}}\,dx} ist nach Substitution {\displaystyle x\mapsto 2\arctan x} gleich {\displays
1.1Bearbeiten {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{n-i\infty }^{n+i\infty }{\frac {\pi }{x\,\cos \pi x}}\,dx=2\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\qquad n\in \mathbb {Z} ^{>0}} ohne Beweis 1.2Bearbeiten {\displ
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }x\,\tan x\,dx=-\pi \,\log 2} Beweis Setzt man {\displaystyle f(z)=z\,\tan z}, so ist{\displaystyle \int _{C_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{K_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{D_{\varepsilon }}f
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,{\frac {x}{\sinh \pi x}}\,dx=2\log 2-1} ohne Beweis (Abels Integral) 1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\sinh x}}
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arcsin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\,\log 2} Beweis {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arcsin x}{x}}\,dx} ist nach der Substitution {\displaystyle x\mapsto \sin x} gleich {\display
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx=G} Beweis Benutze die Reihenentwicklung {\displaystyle \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}.{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x
I. 向量梯度 假设有一个映射函数为\(f:R^n→R^m\)和一个向量\(x=[x_1,...,x_n]^T∈R^n\),那么对应的函数值的向量为\(f(x)=[f_1(x),...,f_m(x)]^T∈R^m\)。 现在考虑\(f\)对\(x_i\)的梯度为:\(\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=[\frac{\partial{f_1}}{\partial{x_i}},...,\frac{
传送门 菜鸡的 lzx 比赛的时候式子画错了，错得一塌糊涂 【分析】 令 \(f_{d, l}\) 表示 \(\gcd A=d\) 且长度为 \(l\) 的概率 令 \(g_{d, l}\) 表示 \(\gcd A\mid d\) 且长度为 \(l\) 的概率 不难得到： \(\displaystyle g_{d, l}=\sum_{d\mid t}f_{t, l}={(n/d)^l\over n^l}\) 式
Markdown数学公式语法 DanielGavin 关注 19 字数 2,117 阅读 119,039行内与独行行内公式：将公式插入到本行内，符号：$公式内容$，如：$xyz$独行公式：将公式插入到新的一行内，并且居中，符号：$$公式内容$$，如：$$xyz$$上标、下标与组合上标符号，符号：^，如：$x^4$下标符
How to calculate mathematics π π π(圆周率的计算方法) From 翔文公益数学 © kumath@outlook.com 泰勒级数理论（Taylor’s theorem and Taylor series） 多项式逼近任意函数 多项式 (po
目录 一、基本假设二、无约束重力模型三、乌尔希斯重力模型四、美国联邦公路局重力模型 综合考虑各个小区之间的交通时间、空间距离、运行费用等因素，通过引力模型来预测未来交通分布状态。 一、基本假设 123
%EI 笔记： 一类特殊的线性求和 话不多说先%%%%%EI 对于给定的常数列\(a_i,i\in[0,n]\) 对于一些可以肉眼描述特征的多项式\(F(x)\)，以及一类特殊的\(G(x)\) 具体的，能够对于\(F(x)\)列出一条较为简单的微分方程，如\(F(x)=(1-x)F'(x)+H(x)\) 对于\(G(x)\)，容易求得\(\sum a_i[x^i]G^k(x)
感觉有些时候题目也做不动，而且有些题目貌似也是似懂非懂，虽然写出来了，但是未必理解，还经常要看题解。于是总结一下题目写过的题目也比颓废发呆好。 题目基本是我认为比较“好”的题或者一些经典题，不保证不咕，主要是写给自己看的，不保证对其他人有价值。 如果我写的部分有错误可以直接
规定 \(\otimes\) 为任一位运算，给定数组 \(a_n,b_n\) ，求数组 \(\displaystyle c_n=\sum_{i\otimes j=n}a_ib_j\) 我们假设将数组 \(a_n,b_n,c_n\) 分别看成一个向量，并对该三个向量进行线性变换。 \(c_n\) 的线性变换可逆 设线性变换分别为 \(T_A,T_B,T_C\) ，且线性变换后，新数组
