1 梯度下降 为什么梯度下降算法可以优化目标函数？ 考虑一类连续可微实值函数\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)， 利用泰勒展开，我们可以得到 \[f(x + \epsilon) = f(x) + \epsilon f'(x) + \mathcal{O}(\epsilon^2). \]\[f(x - \eta f'(x)) = f(x) - \eta f'^2(x) + \mathcal
一些经典的RNN模型... 1、门控循环神经网络 ⭐ 门控循环神经网络可以更好地捕获时间步距离很长的序列上的依赖关系。 重置门有助于捕获序列中的短期依赖关系。 更新门有助于捕获序列中的长期依赖关系。 重置门打开时，门控循环单元包含基本循环神经网络；更新门打开时，门控循环单元可
线性规划问题的标准形式可以写成： \[\begin{aligned} &max~z=\pmb{c}^T\pmb{X} \\ &s.t.\{ \begin{aligned} &\pmb{A}\pmb{X}=\pmb{b}\\ &\pmb{X}\geqslant0 \end{aligned} \end{aligned} \]，\(\pmb{X}\)是列向量 为什么可以统一为这个标准形式 ？ 所有约束都可以写成等式约束是因
均值 (Mean): \[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \]方差 (Variance): 衡量单类样本偏离均值的程度 \[D(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2 \]协方差 (Covariance): 反映两个随机变量的相关程度 \[\begin{aligned} \text{Cov}(x,y) &= E[(X-E(X))(Y-E(
新高考，或许还能这么出 杭州二中 小 Z 本文仅表达我对新高考大题的一些“新颖”的思路，不一定合所有人的胃口。 本人非常喜欢抽象模型，并将一些生活实际应用到题目之中。因此，我改编 / 原创的题目满足： 抽象； 新颖； 应用性广。 可能大部分人做这些题会觉得有些不适应，但是新高考说不定就
对「杭州二中原创导数题及深度剖析 (by 吴禹睿)」的分析和拙见 by 杭州二中 小 Z1 和小 Z2 公众号原文链接 https://mp.weixin.qq.com/s/K20WNLqap4iH2X3TOKm8Ow 题目 已知函数 \(f(x)=\frac{e^x-1}{mx}-x\ (m>0)\) 在 \(x\in (0,+\infty)\) 时有极小值。 第 1 问. 求 \(m\) 的
1. 本文介绍 本文组织如下：在第 2 节中，我们将重新审视回声消除器和后置滤波器的概念，并推导出这种双自适应滤波器结构的维纳解。在第 3 节中，我们将介绍频域中时变回波路径的随机状态空间模型。在第 4 节中，我们将在 DFT 域中开发一个有效版本的卡尔曼滤波器，在第 5 节中，我们将把它分解
1. 高度下界 2. 高度上界 2.1. 最大高度对应 Node 数量 \(N_{h}\) 的递归公式 设有一棵 AVL tree 的高度为 \(h\), 对于该树, 其 node 数量为 \(N_{h}\). 有: 最坏情况下, root 的两棵 subtree 高度为 \(h-1\) 和 \(h-2\). 因此得到以下公式 (其中 \(h \in N^{+}\)): \[N_{h}= \be
五、组合数学 生成函数常识 对于数列\(\lbrace a_n \rbrace\),函数 \[F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_ik_i(x) \]是它的生成函数 \(k_n(x)\)被称为核函数 分类 \(1.\)普通生成函数：\(k_n(x)=x^n\) \(2.\)指数生成函数：\(k_n(x)=\frac{x^n}{n!}\) \(3.\)狄利克雷生成函数：\(k_n(x)=\frac1
题面 根据唯一质数分解定理可得，一个正整数 \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}\) ，设 \[f(n)=\frac{n}{\prod_{i=1}^k c_i} \]给定 \(n\) ，求： \[\sum_{i=1}^n f(i) \]数据范围：\(n\le 10^{12}\) 。 题解 数论好题！从没碰到过的类型！ 首先要注意到 \(f(n)\) 是一个积性函数，碰到积性函数的前缀
"流网络" 定义流网络为一个有向，联通，无自环，无反向边的图 \(G(V,E)\)。 定义每条边有一个容量 \(c(u,v)\)，满足 \(c(u,v)\geq 0\)。 定义流网络 \(G\) 的源点和汇点为两个点 \(s,t\in V\)，除了 \(s\)，每个点 \(u\in V\) 的入度都至少为 \(1\)。 定义流网络 \(G\) 中的一个流 \(f\) 为一
传送门 【分析】 先推一波公式： 答案 \(res\) 显然有公式：（其中 \(D_n\) 表示 \(n\) 个元素全部错排的方案数） \(\begin{aligned}res&={1\over n!}\sum_{x=0}^n\dbinom n x x^kD_{n-x}\\&=\sum_{x=0}^n{x^k\over x!}\cdot {D_{n-x}\over (n-x)!}\end{aligned}\) 由于错排问题有公式：\(
2022.7.19 模拟赛 A 略 B 由于 \(2333333333333333=311\times749803\times1006201\) 我们考虑设这三个数分别为 \(p_1,p_2,p_3\) 然后我们暴力找出 \(x_{1\sim 3}\) 使得 \(x_i^2\equiv a\pmod {p_i}\) 上述的 \(x_i\) 只可能为 \(0\) 个或 \(1\) 个或 \(2\) 个 然后考虑对于所有
1.杜教筛 杜教筛是用来在低于线性的时间复杂度\((O(n^\frac{2}{3} )?)\)内求出积性函数的前缀和的算法 根据杜教筛的定义，我们设 \[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i) \]\[g是一个积性函数 \]\[h(n)=f \times g \]\[H(n)=\sum_{i=1}^nh(i) \]那么有 \[\begin{aligned} H(n)&=\sum_{i=1}^nh
P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题 组合数配合下降幂有优秀的性质： \[m^{\underline{k}}\binom{n}{m}=n^{\underline{k}}\binom{n-k}{m-k}. \]将 \(f(x)\) 转化为下降幂多项式： \[f(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^{\underline{i}}. \]对于其中的每一项 \(b_kx^{\underline{k}}\)，分别计
@目录常用操作latex英文模板latex中文模板常用操作 latex中“盒子”的概念（box）？ parbox makebox 常用操作 给内容加颜色 {\color{red} text } 给部分文本内容加底色 \colorbox[RGB]{255, 255, 204}{ text } 给多行内容加底色高亮 \newcommand\hl[1]{\bgroup\markoverwith{\t
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是可用于标注问题的模型，描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程，属于生成模型。马尔可夫链不懂的可以把本科的《概率论与数理统计》找回来看一下，并不难，就是离散状态之间的转换。下面直接定义基本概念，为后面的算法做准备。 基本
没听全，好毒瘤啊。先记一题： 求： \[[x^ny^n](1+x)^k(1+y)^l(1-xy)^{-k-l-1} \]考虑扩元。从二元生成函数变成四元的。 改成求： \[\begin{aligned} [u^kv^lx^ny^n]\sum_{u\ge 0,v\ge 0}(1+x)^ku^k(1+y)^lv^l(1-xy)^{-k-l-1}\\=\frac{1}{1-xy-u(1+x)}\frac{1}{1-xy-v(1+y)}(1-xy) \end{a
公式 1. 条件概率 \(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\) 证明： 显然有\(P(A|B)P(B)=P(AB)\),把\(P(B)\)除过去即可。 2. 全概率公式 设\(B_1,B_2,\cdots ,B_n\)是样本空间的一个划分，则： \(P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)\) 证明： \(P(A|B_i)P(B_i)\)实际上就是\(P(AB_i)\),可以考
欢迎来到HowardZhangdqs的劝退小课堂。这是狭义相对论从入门到入土（建议初一以上）系列的第二个集合版，修订了大量之前未发现的错误，如果大家在阅读时发现了错误欢迎联系我 zjh@shanghaiit.com 1.1 导言 何为相对论？ 相对论（Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创
假设有两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ ，则有: $\begin{aligned}\|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\|^{2} &=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{T}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \\&=\left(\boldsymbol{a}^{T}-\boldsymbol{b}^{T}\righ
泰勒公式及其在高中的运用 介绍 对于一些特殊的函数，由于多项式的运用更加简单，我们希望能使用多项式函数去近似地表达以便于研究这些函数的性质 而泰勒公式就可以帮助我们利用导数来拟合这些特殊函数（前面都是定义，想知道怎么推出来泰勒可以转到“推导与证明”部分） 首先根据导数我们
Functor 怎么会事呢 Functor 2 axioms \(F(id_A) = id_{F(A)}\) \(F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)\) 这两个公理能证明 \[F(f(A)) = F(f)(F(A)) \]吗？ 还真能 变一下形式 即证: \[(F\circ f) (A) = (F(f) \circ F) (A) \]只需 \[\begin{aligned} F \circ f =& F(f) \circ F
题面传送门 吐槽一句，这么水的题目能搞成蓝色？？？ 好了，进入正题： 思路 首先，列出式子： \[\left\{ \begin{aligned} \gcd(x,a_0)=a_1\\ lcm(x,b_0)=b_1 \end{aligned} \right. \]那么，先来看第一个式子： \(\gcd(x,a_0)=a_1\)，设\(k_0=x\div a_1,k_1=a_0\div a_1\) 可以很快得出，\(\gcd(k_0,k_1)
题面传送门 吐槽一句，这么水的题目能搞成蓝色？？？ 好了，进入正题： 思路 首先，列出式子： \[\left\{ \begin{aligned} \gcd(x,a_0)=a_1\\ lcm(x,b_0)=b_1 \end{aligned} \right. \]那么，先来看第一个式子： \(\gcd(x,a_0)=a_1\)，设\(k_0=x\div a_1,k_1=a_0\div a_1\) 可以很快得出，\(\gcd(k_0,k_1)
