问题引入 \(\sigma_0(n)=n的正因子数量\) 求\(S(n,k)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k)\quad(n,k\le10^{10})\) 概念 积性函数：\(f(a)*f(b)=f(a*b)\quad(a,b互质)\) 完全积性函数则不要求互质 P为质数集合 线性方法 欧拉筛+积性函数 \(令\sigma(i)=\sigma_0(i^k)，则S(n,k)=\sum\sigma(i)
大意: 初始一个数字$n$, 每次操作随机变为$n$的一个因子, 求$k$次操作后的期望值. 设$n$经过$k$次操作后期望为$f_k(n)$. 就有$f_0(n)=n$, $f_k(n)=\frac{\sum\limits_{d|n}{f_{k-1}(d)}}{\sigma_0(n)}, k>0$. 显然$f_k(n)$为积性函数, $dp$算出每个素因子的贡献即可.
$\mu(n) = \begin{cases} 1, & \text{if $n$ = 1} \\ (-1)^k, & \text{if $n = p_1*p_2*...*p_k$ } \\0, & \text{其它} \end{cases}$ 根据定义的$O(\sqrt{n})$求法如下, 可以用Pollard-Rho算法优化到$O(n^{\frac{1}{4}})$ int Mu(int n) { int ret = 1, mx = sqrt(n
PREFACE 时隔数月尝试拾起以往的OI知识发现异常的艰难,于是准备慢慢的填坑,可能比较简略并且穿插不少英文(万一面试的时候问起OI还能说几句pao),但是我英语太菜了，如果您发现了错误或是需要改进的地方，欢迎联系我或是在下方评论 小结#1主要是数论部分，小结#2到时看情况在更吧 update:
还是发出来提醒下自己,免得又给忘了... 杜教筛 一种可以在 \(O(n^{\frac 2 3})\) 时间内解决积性函数前缀和的操作. 求 \(S(n)=\sum_{i=1}^n f(i),f\) 为积性函数. 构造两个积性函数 \(g,h\) ,使得 \(f*g=h\). \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^n h(i)&= \sum_{i=1}^n \su
写这篇文章帮助自己回忆一下之前学习过的东西以及一些常见的反演套路吧\(QWQ\) 首先简单介绍一下积性函数： \(\phi,\mu,d...\)这些都是积性函数 定义是：若\(f(x*y) = f(x)*f(y) \quad (gcd(x,y)==1)\) 则\(f(x)\)是一个积性函数。 常见的积性函数： \(\mu,\quad\phi,\quad d(\)因数个数
Deciphering Password Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2357 Accepted Submission(s): 670 Problem Description Xiaoming has just come up with a new way for encryption, by calculati
