欧拉筛素数及积性函数 欧拉筛素数 int Prime[N], tot; bool Not[N];//true 则 i 不是素数 void GetPrime(const int& n = N - 1) { Not[1] = true; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (!Not[i]) Prime[++tot] = i; for (int j = 1; j <= tot && i * Pr
rt，其实是用来方便自己学莫比乌斯反演的......像 \(\sum\) 这种东西干嘛要加，反正是给我自己看看的...... \(\varphi(n)\)：\(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left[gcd(n, i) = 1\right]\) \(\tau(n)\)：\(n\) 的约数个数。 \(\sigma(n)\)：\(n\) 的约数之和。 \(d_k(n)\)：约数 \(k\) 次方和。特
前置知识 数论分块 一些基础数论知识 积性函数 定义：如果一个数论函数 \(f(x)\)，对于任意的在其定义域中的 \(x,y\)，满足 \(f(xy)=f(x)f(y)\ \ (\gcd(x,y)=1)\)，则称 \(f(x)\) 为积性函数(Multiplicative Function)。 若 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称其为完全积性函数(Completely Multipl
题面 根据唯一质数分解定理可得，一个正整数 \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}\) ，设 \[f(n)=\frac{n}{\prod_{i=1}^k c_i} \]给定 \(n\) ，求： \[\sum_{i=1}^n f(i) \]数据范围：\(n\le 10^{12}\) 。 题解 数论好题！从没碰到过的类型！ 首先要注意到 \(f(n)\) 是一个积性函数，碰到积性函数的前缀
数论函数初步 数论函数 数论函数&狄利克雷卷积 定义：在全体（正）整数上定义的函数为数论函数 积性定义： 完全积性：\(f(ab)=f(a)f(b)\) 积性：若\(\gcd(a,b)=1\)，则\(f(ab)=f(a)f(b)\) 规律：如果\(f(x),g(x)\) 为积性函数，则一下函数也有积性： \((f(x))^{-1},f(x)g(x),f(g(x)),f*g\) 积性
# 欧拉函数 定义：对于正整数 $n$ ，**小于等于**$n$, 且与 $n$互质的正整数（包括1）的个数， 记作$φ(n) , φ(1) = 1.$ 用数学公式表达就是 $φ(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n1(gcd(i,n)=1)$ ------------性质： $φ(n) $是一个积性函数， 积性函数的性质：$gcd (a, b) == 1 $则$f(a *
定义 欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1 计算通式 φ(x)=x\(\prod_{i=0}^n(1-\frac{1}{p_i})\) φ(1)=1 其中\(p_1,p_2 \cdots p_n\)为x的所有质因数，x是正整数。 理解：对于x的一个质因数\(p_i\)，因为x以内\(p_i\)的倍数是均匀分布的，所以x以内
前情提要： 关于莫比乌斯翻译，是真的懵逼吾死，莫比乌斯函数（好理解），狄利克雷卷积（能懂不会用），莫比乌斯反演（队友泪两行），杜教筛（呵呵），因为看了两天自己不能自理的推出来，所以写个博客帮助下理解，懂了就改。。。。。。。 需要提前知道的知识： 积性函数：对于所有互质的整数都有f(ab)=f(a)f(b)的
筛法求约数和 设 \(f(i)\) 为 \(i\) 的约数和， \(g(i)\) 为 \(i\) 的最小的质因子的 \(p^0+p^1+p^2+....+p^k\) 线性筛的时候筛到自己最小的质数，如果自己已经是这个质数的倍数，那么 \[g(i\times p)=g(i)\times p+1\\ f(i\times p)=f(i)/g(i)*g(i\times p) \] 否则 \(f(i\times
杜教筛 杜教筛用途：在低于线性时间里，高效率求一些积性函数的前缀和 杜教筛算法=整除分块+狄利克雷卷积+线性筛 杜教筛公式： \[\begin{align} &g(1)S(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor) \end{align} \]1.积性函数 1.1 定义 （1）定义在所有正
1 1.对于L,R； 2 找到最大的R，使得[n/l]=[n/r]; 3 n/r>=[n/r]-->r<=n/[n/r] 4 <<=>> 5 r<=n/[n/l]; 6 7 2. 8 [[n/x]/y]=[n/xy] 9 10 3.杜教筛 11 i >= 1 && i <= n j >= 1 && j <= n 12 求它们的互质对数 13 令f(n)=它们的互质对数； 14
狄利克雷卷积 定义:\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)\) 很显然满足交换律和结合律。 积性函数 为积性函数的有: \(I (n)\) (或\(1(n)\) ),恒等于1，所以叫恒等函数 \(\epsilon (n)\) (或者\(e(n)\) ),当且仅当 \(n=1\) 时，其值为 \(1\),否则为 \(0\),其满足(\(e*f=f\))(因此为狄利克
认识一下常用数论函数$:$$\mu$ 无需解释$I =1\ $恒等函数(恒等于$1$)$e= \ [n=1]$原函数然后考虑莫比乌斯反演性质式$:$$\sum_{i|n}\mu(i)=[n=1]$等价于$\mu*I=e$$F=\sum_{i|n}f[i]$$F=(f*I)$$F*\mu=(f*I)*\mu$$F*\mu=f*(I*\mu)$$F*\mu=f*e$$F*\mu=f$$f=F*\mu$证毕$n=\sum_{i|n}\p
一、前置知识 艾佛森括号 [ P ] = {
定义 如果\(f:N\rightarrow R\),满足对任意互质的正整数\(p,q\),都有\(f(qp)=f(q)f(p)\),则称f(x)为积性函数 例子： \(1(n)=1\) \(id(n)=n\) \(\epsilon(n)=[n=1],\epsilon(1)=1,\epsilon(n>1)=0\) \(\phi(n)=1···n中与n互质的个数\) \(d(n)=n的正因子个数\) 具体实现： 设f为积性
要求其中一个是积性函数，另一个可以任意。 其实就是在质因数分解的意义下做高维前缀和。 高维前缀和 对于二维前缀和，我们也许可以直接推 s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j] 而我们也可以 s[i][j]=s[i][j-1]+a[i][j] 然后 s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j] 以实现二维的前
洛谷 P2158 [SDOI2008] 仪仗队 思路：套莫反 点击查看代码 int mo[N]; int cnt,primes[N];bool st[N]; ll sum[N]; void init(){ mo[1] = 1; for(int i=2;i<N;i++){ if(!st[i]) primes[cnt++] = i,mo[i] = -1; for(int j=0;primes[j]*i<N;j++){
Definition 完全积性函数 单位函数 \[\varepsilon(n)=[n=1] \]幂函数 \[Id_k(n)=n^k \]特别地，有： \(k=0\) 时，为常数函数 $$I(n)=1$$ \(k=1\) 时，为恒等函数 $$Id(n)=n$$ 非完全积性函数的积性函数 除数函数 \[\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k \]特别地，有： \(k=0\) 时，为个数函数
莫比乌斯反演神题 换言说，就算你推出柿子还是不会那个神奇的伯努力数。。。。 那么这样，我们先推一波柿子： $f_d(n)\\=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]i^d\\ =\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{t|gcd(i,n)}\mu (t)\\ =\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{t|i \textit{ } and \textit{ } t|n}\mu(t)\\ =\sum_{t
刚接触这些东西感觉整个人都不好了 由于涉及大量公式所以将大面积粘贴各种图片，基本来自wiki 两个引理 证明就是利用向下取整把后面的\(r\)搞没了 对于任意\(d\)取便整数集合，\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)最多仅有\(2 \sqrt{n}\)种取值 证明比较直观就不解释了 这个东西主要作
啊啊啊快吐了。。。。。。。。。。 筛质数 埃筛 对于每一个质数，标记它的所有倍数(除了它本身)为合数。 时间复杂度：\(\mathcal {O}(nlog(log(n)))\)。 拓展1：\(1\sim n\) 中质数约有 \(n/ln(n)\) 个。 拓展2：\(1\sim n\) 中质因数约有 \(nlog(log(n))\) 个。（由埃筛复杂度可知） 题目 Pr
[总结] 线性筛与积性函数 利用线性筛中一个数仅仅被它最小的质因子筛掉的性质，结合积性函数的特殊性质，往往可以预处理出积性函数的值。 \(\varphi(x)\) 设 \(P\) 是质数，显然 \(\varphi(p)=p-1\)。 根据定义式：\(\varphi(x)=x\cdot \prod_{i=1}^k{\frac{p_i-1}{p_i}}\)，则 \(\varphi
前言 由于其由 Min_25 发明并最早开始使用，故称「Min_25 筛」。 从此种筛法的思想方法来说，其又被称为「Extended Eratosthenes Sieve」。 其可以在 \(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{logn})\) 的时间复杂度下解决一类 积性函数 的前缀和问题。 要求： \(f(p)\) 是一个关于 \(p\) 的项数
小明的密钥 时间限制： 1000 ms | 内存限制： 32768 KB 难度： 5 描述 小明想出了一种新的编写密码的方法，给出一个公开密钥N=A^B(1<=A,B<=1000000),假定N的因子有 a[0], a[1], a[2], …, a[k-1]，而a[0], a[1], a[2], …, a[k-1]的因子个数分别为t[0],t[1],t[2],…,
参考资料 https://www.cnblogs.com/star-city/p/11101991.html https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8640319.html
