标签：约数 数论 质数 笔记 int primes 质因数 复杂度
质数
1、质数的判定：
试除法判定质数
//朴素写法，时间复杂度O(n)
bool isprime(int n){
if(n<2) return false;
for(int i = 2; i < n; ++ i)
if(n % i == 0)
return false;
return true;
}
我们发现对于任何一个能整除n的数d，则n / d也能整除n
所以我们只需要枚举到n / d即可
//优化后代码，时间复杂度是O(根号n)
bool isprime(int n){
if(n<2) return false;
for(int i = 2; i <= n / i; ++ i)
if(n % i == 0)
return false;
return true;
}
2、分解质因数
//试除法分解质因数
void divide(int n){
for(int i = 2; i <= n; ++ i)
if(n % i == 0){
int s = 0;
while(n % i == 0){
n /= i;
s ++;
}
cout << i << ' ' << s << endl;
}
puts("");
}
我们发现n中至多有一个质因数大于根号n，假设有两个质因数x、y大于根号n，那么x * y就大于n不符合条件，所以我们将这个大于根号n的质因数特判一下即可
void divide(int n){
for(int i = 2; i <= n / i; ++ i)
if(n % i == 0){
int s = 0;
while(n % i == 0){
n /= i;
s ++;
}
cout << i << ' ' << s << endl;
}
if(n > 1) cout << n << ' ' << 1 << endl;
puts("");
}
筛法求质数
朴素筛法：从小到大枚举，未被标记则加入质数表内，然后把它的倍数筛除
//时间复杂度O(nlogn)
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; ++ i){
if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
for(int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
我们发现有很多冗余，有些数被筛除了很多次，观察质数和约数的性质，我们发现每一个约数都是质数的倍数，所以我们只用筛除质数的倍数即可
//时间复杂度为O(nloglogn)
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; ++ i){
if(!st[i]){
primes[cnt ++] = i;
for(int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
}
线性筛法：每次只用一个数的最小质因数将这个数筛除
//时间复杂度O(n)
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; ++ i){
if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
for(int j = 0; primes[j] <= n / i; ++ j){
st[primes[j] * i] = true;
if(i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
约数
试除法求约数
和试除法判定质数相同，我们发现对于任何一个能整除n的数d，则n / d也能整除n，所以我们只用枚举到n / d，用d算出来另一个约数n / d即可
//时间复杂度O(根号n + nlogn)，排序时间复杂度O(nlogn)
vector<int> get_divisors(int n){
vector<int> res;
for(int i=1; i<=n/i; ++i)
if(n%i == 0){
res.push_back(i);
if(i != n/i) res.push_back(n/i);
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
约数个数与约数之和
最大公约数
欧几里德算法
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
欧拉函数
标签：约数,数论,质数,笔记,int,primes,质因数,复杂度 来源： https://blog.csdn.net/qq_50702668/article/details/115125964
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