RSA加密 操作过程和原理
欧拉定理
这里只是讲解欧拉定理，证明我暂时还没有那个能力。
两
个
数
a
和
n
互
质
，
则
对
于
所
有
小
于
n
，
大
于
0
的
整
数
中
，
与
n
互
质
的
数
，
其
都
满
足
以
下
定
理
：
a
φ
(
n
)
≡
1
(
m
o
d
n
)
，
其
中
φ
(
n
)
就
代
表
上
面
说
到
的
数
组
成
的
集
合
，
也
叫
做
欧
拉
函
数
两个数a和n互质，则对于所有小于n，大于0的整数中，与n互质的数，其都满足以下定理：\\ {a}^{\varphi(n)} \equiv 1\ (mod\ n)，其中 \varphi(n)就代表上面说到的数组成的集合，也叫做欧拉函数
两个数a和n互质，则对于所有小于n，大于0的整数中，与n互质的数，其都满足以下定理：aφ(n)≡1 (mod n)，其中φ(n)就代表上面说到的数组成的集合，也叫做欧拉函数
欧拉定理与费马小定理
其
中
费
马
小
定
理
对
于
φ
(
n
)
中
的
值
要
求
更
高
，
要
求
其
与
a
互
质
，
所
以
费
马
定
理
中
的
值
，
是
欧
拉
定
理
的
一
个
子
集
。
其中费马小定理对于 \varphi(n) 中的值要求更高，要求其与a互质，所以费马定理中的值，是欧拉定理的一个子集。
其中费马小定理对于φ(n)中的值要求更高，要求其与a互质，所以费马定理中的值，是欧拉定理的一个子集。
原理和过程
令 p 和 q 是 两 个 质 数 ， n = p × q ， k = ( p − 1 ) × ( q − 1 ) 再 寻 找 一 个 数 e ， 使 得 g c d ( e , k ) = 1 ， 并 且 需 要 寻 找 e 对 于 模 k 的 逆 d ， 则 公 钥 为 e 和 n ， 私 钥 为 d 令p和q是两个质数，n=p \times q，k=(p-1) \times (q-1) \\ 再寻找一个数e，使得 gcd(e,k)=1，并且需要寻找e对于模k的逆d，\\ 则公钥为 e 和 n，\\ 私钥为 d 令p和q是两个质数，n=p×q，k=(p−1)×(q−1)再寻找一个数e，使得gcd(e,k)=1，并且需要寻找e对于模k的逆d，则公钥为e和n，私钥为d
假设要传输的数据为t，并且假设解密时已知公钥e和n。
密
文
为
t
e
，
解
密
过
程
为
(
t
e
)
d
=
t
e
d
因
为
e
d
≡
1
(
m
o
d
k
)
，
则
e
d
=
r
×
k
+
1
，
其
中
r
∈
N
。
即
t
e
d
m
o
d
n
=
t
r
k
+
1
m
o
d
n
=
(
(
t
r
k
m
o
d
n
)
⋅
(
t
m
o
d
n
)
)
m
o
d
n
因
为
t
k
m
o
d
n
=
t
(
p
−
1
)
(
q
−
1
)
m
o
d
(
p
q
)
，
且
只
要
(
p
−
1
)
≠
q
，
(
q
−
1
)
≠
p
，
则
(
p
−
1
)
(
q
−
1
)
与
(
p
q
)
互
质
，
根
据
欧
拉
定
理
t
(
p
−
1
)
(
q
−
1
)
≡
1
(
m
o
d
p
q
)
所
以
将
上
面
的
t
r
k
m
o
d
n
=
(
t
k
⋅
t
k
⋅
t
k
⋯
t
k
)
m
o
d
n
=
(
(
t
k
m
o
d
n
)
(
t
k
m
o
d
n
)
⋯
(
t
k
m
o
d
n
)
)
m
o
d
n
=
1
所
以
t
e
d
m
o
d
n
=
t
m
o
d
n
密文为\ {t}^{e}，解密过程为 \\ ({t}^{e})^d={t}^{ed} \\ 因为 ed \equiv 1 (mod\ k)，则 ed=r \times k+1，其中 r \in N。\\ 即 {t}^{ed} \mod n ={t}^{rk+1} \mod n= (({t}^{rk} \mod n) \cdot (t \mod n)) \mod n \\ 因为 {t}^{k} \mod n={t}^{(p-1)(q-1)} \mod (pq)，且只要(p-1) \neq q，(q-1) \neq p，则(p-1)(q-1)与(pq)互质，根据欧拉定理\\ {t}^{(p-1)(q-1)} \equiv 1\ (mod\ pq) \\ 所以将上面的 {t}^{rk} \mod n=(t^k \cdot t^k \cdot t^k \cdots t^k) \mod n= \\ ((t^k \mod n)(t^k \mod n) \cdots (t^k \mod n)) \mod n = 1 \\ 所以 {t}^{ed} \mod n =t \mod n
密文为 te，解密过程为(te)d=ted因为ed≡1(mod k)，则ed=r×k+1，其中r∈N。即tedmodn=trk+1modn=((trkmodn)⋅(tmodn))modn因为tkmodn=t(p−1)(q−1)mod(pq)，且只要(p−1)=q，(q−1)=p，则(p−1)(q−1)与(pq)互质，根据欧拉定理t(p−1)(q−1)≡1 (mod pq)所以将上面的trkmodn=(tk⋅tk⋅tk⋯tk)modn=((tkmodn)(tkmodn)⋯(tkmodn))modn=1所以tedmodn=tmodn
参考B站视频
标签：pq,加密,ed,定理,RSA,互质,欧拉,mod 来源： https://blog.csdn.net/YQXLLWY/article/details/112098498
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