标签：ch gcd 原根 int 笔记 学习 rg varphi
阶
阶的定义
设 \(m>1\)，且 \(gcd(a,m)=1\)，那么使得\(a^r\equiv 1(modm)\)成立的最小的正整数\(r\)称为\(a\)对模\(m\)的阶，记为\(\delta m(a)\)
阶的性质
定理一：若 \(m>1\) 并且 \(gcd(a,m)=1\)，又满足 \(a^n \equiv 1(modm)\)，那么 \(\delta m(a)|n\)
定理二：\(\delta m(a)|\varphi(m)\)
原根
原根的定义
原根，是一个数学符号。设 \(m\) 是正整数，\(a\) 是整数，若 \(a\) 模 \(m\) 的阶等于 \(\varphi(m)\)，则称 \(a\)为模 \(m\) 的一个原根。
原根存在的条件
模 \({\displaystyle m}\) 有原根的充要条件是 \(m=2,4,p^k,2p^k\)，其中 \(p\) 是奇素数(除了 \(2\) 以外的所有素数)，\(k\) 是任意正整数。
原根的判定
若 \(g\) 为模 \(m\) 的原根，则对于任意 \(\varphi(m)\) 的质因子 \(p\)，必有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1 \pmod m\)
求所有的原根
最小原根是不大于 \(\sqrt[4]{m}\) 级别的。
因此，不妨枚举 \([1,\sqrt[4]{m}]\) 的整数，得到最小原根 \(g\)。
再枚举 \(g^s\) 的指数 \(s\)，若 \(s\) 与 \(\varphi(m)\) 互质，则 \(g^s\bmod m\) 为一个原根。
由此可知，如果数 \(m\) 存在原根，则原根的个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)
代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
bool not_pri[maxn];
int n,t,d,pri[maxn],phi[maxn];
void xxs(){
not_pri[0]=not_pri[1]=1;
phi[1]=1;
for(rg int i=2;i<maxn;i++){
if(!not_pri[i]){
pri[++pri[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(rg int j=1;j<=pri[0] && 1LL*i*pri[j]<maxn;j++){
not_pri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
break;
}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
}
bool jud(rg int now){
if(now==2 || now==4) return 1;
if(now%2==0) now/=2;
for(rg int i=2;pri[i]<=now;i++){
if(now%pri[i]==0){
while(now%pri[i]==0){
now/=pri[i];
}
return now==1;
}
}
return 0;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs,rg int mod){
rg int nans=1;
while(zs){
if(zs&1) nans=1LL*nans*ds%mod;
ds=1LL*ds*ds%mod;
zs>>=1;
}
return nans;
}
int sta[maxn],tp,g,ans[maxn],tp2;
void divid(rg int now){
rg int m=sqrt(now);
tp=0;
for(rg int i=2;i<=m;i++){
if(now%i==0){
sta[++tp]=i;
while(now%i==0) now/=i;
}
}
if(now>1) sta[++tp]=now;
}
int gcd(rg int aa,rg int bb){
return (bb==0)?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
bool pd;
int main(){
xxs();
t=read();
while(t--){
n=read(),d=read();
if(jud(n)){
divid(phi[n]);
for(rg int i=1;;i++){
pd=1;
if(gcd(i,n)!=1) continue;
for(rg int j=1;j<=tp;j++){
if(ksm(i,phi[n]/sta[j],n)==1){
pd=0;
break;
}
}
if(pd){
g=i;
break;
}
}
rg int now=1;
tp2=0;
for(rg int i=1;tp2<phi[phi[n]];i++){
now=1LL*now*g%n;
if(gcd(phi[n],i)==1) ans[++tp2]=now;
}
std::sort(ans+1,ans+1+tp2);
printf("%d\n",phi[phi[n]]);
for(rg int i=1;i<=phi[phi[n]]/d;i++){
printf("%d ",ans[i*d]);
}
printf("\n");
} else {
printf("0\n\n");
}
}
return 0;
}
标签：ch,gcd,原根,int,笔记,学习,rg,varphi 来源： https://www.cnblogs.com/liuchanglc/p/14203590.html
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