标签：度数 省选 边权 路径 奇点 2020 回路 联考 欧拉

Luogu6628 [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路

\(Kruskal\)+欧拉回路

这道题相当妙啊。

本题钦定了起点和终点，容易发现满足题意的路径是一条欧拉路径。欧拉路径的性质是奇点个数为\(0\)或\(2\)，在本题中\(s\)和\(i\)恰好是两个奇点，因此剩下的路径上的点的度数应当为\(2\)。

把起点度数和终点度数\(+1\)，就转化成了求解欧拉回路（这样实际上\(s\)和\(i\)就是两个奇点了，而其他点均为偶点）。

我们可以把奇点找出来，由于图中路径长度为\(\lvert i-j \rvert\)，两点间直接路径最短，我们可以贪心地将相邻的奇点配对连边，使之成为偶点，一条边贡献的度数是\(2\)，总度数为偶数，这样的方案一定存在。

但是会出现一个问题，可能我们最终得到的是很多欧拉回路，它们并不连通。

我们可以建立最小生成树将他们连通，边权需要\(\times 2\)，因为我们总体需要形成欧拉回路。

建立最小生成树的过程会导致新的连边，这会不会导致答案变劣呢？

比如有四个节点\(A<B<C<D\)（其他中间路程中的点被省略）。

我们的算法会这样连：

边权和为：\(2(B-A)+2(D-C)+2(C-B)=2D-2A\)。

很容易怀疑以下方式是否更优：

边权和为：\((B-A)+(C-B)+(D-C)+(D-A)=2D-2A\)。

发现我们的计算方式不会让答案变劣。

因此我们证明了这是最优选取方式。

标签：度数,省选,边权,路径,奇点,2020,回路,联考,欧拉
来源： https://www.cnblogs.com/GK0328/p/14018565.html

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