标签：ch 游戏 read dfrac 矩阵 times NOI2013 mod
题目描述
婷婷是个喜欢矩阵的小朋友，有一天她想用电脑生成一个巨大的 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用 \(F[i][j]\) 来表示矩阵中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素，则 \(F[i][j]\) 满足下面的递推式:
\[F[1][1]=1 \]\[F[i,j]=a\times F[i][j-1]+b (j\neq 1) \]\[F[i,1]=c\times F[i-1][m]+d (i\neq 1) \]递推式中 \(a,b,c,d\) 都是给定的常数。
现在婷婷想知道 \(F[n][m]\) 的值是多少，请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出 \(F[n][m]\) 除以 \(1,000,000,007\) 的余数。
题解
考虑 \(F[i][1]\) 和 \(F[i][m]\) 之间的关系：
\[F[i][m]=a(a(\cdots(a\times F[i][1]+b)\cdots)+b)+b \]\[=a^{m-1}\times F[i][1] + a^{m-2}b + a^{m-3}b + \cdots + b \]\[=a^{m-1}\times F[i][1] + \dfrac{a^{m-1}-1}{a-1}\times b \]由此可得
\[F[i+1][1]=a^{m-1}c\times F[i][1] + \dfrac{a^{m-1}-1}{a-1}\times bc + d \]设 \(A=a^{m-1}c,\ B=\dfrac{a^{m-1}-1}{a-1}\times bc + d\)，则
\[F[i+1][1]=A\times F[i][1]+B \]如法炮制，可得
\[F[n][1]=A^{n-1}\times F[1][1] + \dfrac{A^{n-1}-1}{A-1}\times B \]由于 \(F[1][1]=1\)，所以可以先把 \(F[n][1]\) 算出来，然后再使用上面那个 \(F[i][1]\) 和 \(F[i][m]\) 的关系式来推出 \(F[n][m]\) 即可
如何算 \(a^{m-1}\)?
由于 \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\)，所以 \(a^{m-1}\equiv a^{(m-1)\bmod (p-1)} \pmod p\)
那么对 \(m-1\) 取模 \(p-1\) 后再进行快速幂即可，\(A^{n-1}\) 同理
注意特判 \(a=1\) 或者 \(A=1\) 的情况!!!
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template <typename T>
inline void read(T &num) {
T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
num = x * f;
}
const ll mod = 1000000007;
char n[1000005], m[1000005];
ll N, M, _N, _M;
ll a, b, c, d, nl, ml, am, asum, B, A, Am, Asum;
ll ans;
inline ll fpow(ll x, ll t) {
ll ret = 1;
for (; t; t >>= 1, x = x * x % mod) if (t & 1) ret = ret * x % mod;
return ret;
}
int main() {
scanf("%s %s", n + 1, m + 1);
read(a); read(b); read(c); read(d);
a %= mod; b %= mod; c %= mod; d %= mod;
nl = strlen(n + 1); ml = strlen(m + 1);
for (int i = 1; i <= ml; i++) {
M = (M * 10 % mod + m[i] - '0') % mod;
}
for (int i = 1; i <= ml; i++) {
_M = (_M * 10 % (mod-1) + m[i] - '0') % (mod-1);
}
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
N = (N * 10 % mod + n[i] - '0') % mod;
}
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
_N = (_N * 10 % (mod-1) + n[i] - '0') % (mod-1);
}
am = fpow(a, _M-1); //a^(p-1)==1 (mod p)
if (a == 1) asum = M - 1;
else asum = (am - 1) * fpow(a - 1, mod - 2) % mod;
B = (b * c % mod * asum % mod + d) % mod;
A = am * c % mod;
Am = fpow(A, _N-1);
if (A == 1) Asum = N - 1;
else Asum = (Am - 1) * fpow(A - 1, mod - 2) % mod;
ans = (Am + B * Asum % mod) % mod; // f[n][1]
ans = (am * ans % mod + b * asum % mod) % mod; //f[n][n]
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
标签：ch,游戏,read,dfrac,矩阵,times,NOI2013,mod 来源： https://www.cnblogs.com/ak-dream/p/AK_DREAM104.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。