标签:prime DGF 函数 生成 frac zeta prod
狄利克雷生成函数
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定义
对于一个数论函数,设在 \(i\) 处的点值为 \(f_i\),则定义它的狄利克雷生成函数DGF(Dirichlet Generating Function)为 \(F(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{f_i}{i^x}\)。
根据定义可以知道,若一个DGF为 \(F(x)\),则原数论函数点积 \(Id\) 的DGF为 \(F(x-1)\)。
若存在两个狄利克雷生成函数 \(F,G\),其乘积为(设 \(h = f *g\)):
\[(F\times G)(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{\sum\limits_{d|i}f(d)\times g(i/d)}{i^x}=H(x) \]发现两个函数的DGF的乘积恰好等于其狄利克雷卷积的DGF。
(感觉最大的用处就是利用上面这个性质,杜教筛的时候不用凑了)。
定义黎曼Zeta函数为 \(\zeta(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i^x}\)
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常见函数的DGF
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单位元函数的DGF显然 \(1\)
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恒等函数 \(I\) 的DGF为 \(\zeta(x)\)
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莫比乌斯函数 \(\mu\) 的DGF:
\[\prod_{p\in prime}(1- \frac{1}{p^x})=\frac 1{\prod_{p\in prime}\frac 1 {1-p^{-x}}}=\frac1 {\zeta(x)} \] -
仅在 \(k\) 次方处值为 \(1\) 的函数的DGF为 \(\zeta(kx)\)。
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幂函数 \(Id_k\) 的DGF为:
- 欧拉函数 \(\varphi\) 的DGF为:
- 定义刘维尔函数为 \(\lambda(x)=(-1)^{\Omega(x)}\)。其中 \(\Omega(x)\) 表示 \(x\) 的质因子个数(可重复)。刘维尔函数的DGF为:\[\prod_{p\in prime} \sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{(-1)^i}{p^{ix}}=\prod_{p\in prime}\frac{1}{1+p^{-x}}=\frac{\zeta(2x)}{\zeta(x)} \]
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(以上均摘自Binary_Search_Tree的博客,有删改,原文链接)
标签:prime,DGF,函数,生成,frac,zeta,prod 来源: https://www.cnblogs.com/With-penguin/p/13714992.html
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