标签：文化 数列 cdots 1a cfrac 数学 通项 3a

前言

典例剖析

例16我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形的面积求一边的算法[少广算法]，其方法的前两步如下。第一步：构造数列\(1\)，\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{3}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{1}{n}①\)，第二步：将数列①的各项乘以\(\cfrac{n}{2}\)，得到一个新数列\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，\(\cdots\)，\(a_n\)，则\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n\)等于多少？

$A.\cfrac{n^2}{4}$ $B.\cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.\cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.\cfrac{n(n+1)}{4}$

法1：以少御多，将无限项转化为有限项，再由多转少，这样便于思考和运算；可以假定\(n=4\)，然后代入验证，选\(C\).

法2：写出新数列的通项公式\(a_k=\cfrac{1}{k}\cdot \cfrac{n}{2}\)，注意通项公式不是\(a_n=\cfrac{1}{n}\cdot \cfrac{n}{2}\)，

这样求和的数列的通项公式就是

\(k\ge 2\)，\(a_{k-1}a_k=\cfrac{n^2}{4}\cfrac{1}{(k-1)k}=\cfrac{n^2}{4}(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})\)

故\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_{n-1}a_n\)

\(=\cfrac{n^2}{4}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4})+\cdots+(\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k})]\)

\(=\cfrac{n^2}{4}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{n(n-1)}{4}\).

标签：文化,数列,cdots,1a,cfrac,数学,通项,3a
来源： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12349637.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。