标签：度数 连边 图论 Ai 删掉 网络 kkk 权值

1

给定一棵树，每次可以选一个叶子删掉。同时有 $m$m 个限制 $(u,v)$(u,v) 表示 $u$u 必须在 $v$v 之前删掉。求可能最后一个被删掉的点的集合。

如果有一个 $u\rightarrow v$u→v 的限制，那么以 $v$v 为根 $u$u 的子树都不能选。之后把不能选的点之间定向，加上限制的边，如果有环就无解，否则可以证明解就是剩下的点。

2

给定一个字符串集合，求字符集大小为 $k$k 且不包含任何一个集合中串的“双向无限”字符串个数。如果有无限个输出 -1。
$k\leq 10，总串长\leq 100000$k≤10，总串长≤100000

构建出字符串和字符集的 AC 自动机。判断 inf：
1.某个 scc 不是简单环；
2.某条路径经过三个不同 scc。
否则，一条合法的路径一定是从一个环出发，走一些路径，再到一个环。

3

有一个 $w\times h$w×h 的 $01$01 矩阵 $A$A，和一个 $(w-1)*(h-1)$(w−1)∗(h−1) 的矩阵 $B$B，满足 $B_{i,j}=A_{i,j}+A_{i,j+1}+A_{i+1,j}+A_{i+1,j+1}$Bi,j​=Ai,j​+Ai,j+1​+Ai+1,j​+Ai+1,j+1​
给你矩阵 $B$B，请给出一个满足条件的矩阵 $A$A。

添加辅助变量，每四个格子添加辅助变量表示哪些等于 $0$0 ???

发现确定了第一行第一列和 $A_{11}$A11​ 之后，每个格子都可以由一坨 $B$B 元素和两个 $A$A 元素（该行第一个和该列第一个）算出。然后就是 2-sat 模型了。

田字格限制问题一般想一想确定了哪些东西以后解就是固定的了。

4

一棵树 $m$m 对点，每次可以花费 $1$1 的代价给一条边标记或者给一对点标记。满足每对未标记点的路径上的所有边都被标记。
$n,m\leq 10000$n,m≤10000
要么点对被覆盖，要么之间所有边被覆盖。建二分图，左边是点对，右边是边，每个点对向它们之间所有的边。求最小割即可。向树上的一条路径连边，可以倍增或者树剖优化。

5

给定一个由单位正方体组成的物体的俯视图，求最多拿掉多少正方体使得三视图不变。
$n,m&lt;=100$n,m<=100

首先满足俯视图。即俯视图不为零的都铺上一层。

答案的上界显然是每列最大值之和+每行最大值之和。什么时候答案会减小？就是行行和列公用最大值的时候。因此建立二分图，左边是行，右边是列，如果某行某列最大值相同并且这个格子可以放东西，就连流量 1 费用 最大值的边。跑最大费用流即可。

进一步观察发现权值相同的点才会联通，因此把权值相同的点拿出来跑最大流即可。

输赢分配问题

区间 $k$k 覆盖问题
有一些区间，选择一个区间会产生一些收益。每个点覆盖它的区间最多不超过 $k$k 个。
对于一个区间 $[l,r]$[l,r]，我们连边 $l\rightarrow r+1$l→r+1，流量 $1$1，费用 $k$k。求流量为 $k$k 的最大费用流

答案的上界显然是不对移动进行限制的匹配。

考虑去调整匹配（变得合法）。如果匹配中士兵移动以后炸掉一个炮楼，然而不合法，那么他不移动的时候一定也可以炸掉一个炮楼。我们对他的匹配进行调整，匹配数不变。
非常有趣的调整。证明了上界总是可以达到的。

这一类网络流问题总是先去考虑答案的上界，然后用最小割/最大流来调整，或是直接证明了上界可以达到。

杂谈

边权小的时候用桶代替dij的堆。
k短路 可并堆

多sat（每个变量出现两次，一正一反）。包含a的子句和-a的子句连无相边 cf

完全图最小生成树：曼哈顿最小生成树：把平面分成八个方向，向每个方向曼哈顿最近的点连边。每个区域有两条限制，比如x>=x0,(y-y0)-(x-x0)>=0，一维排序扫描线，另一维按区域维护x+y最小值即可。

编号gcd：只有向他的倍数的点的连边才有用。
xor：boruvka？

最小生成环套树。直接kruskal。正确性：未选择的边一定不在答案内。

次小生成树：枚举非树边，删掉路径最大边。

给定每个点的度数，构造满足条件的图或树

1.要求没有重边：
每次选一个度最大的点，假设度数为 $k$k，和度数前 $k$k 大的点连边。

2.不要求：
充要条件是最大点度数小于等于总度数的一半并且总度数为偶数。构造方法是每次选择两个度最大的点连边。

3.不要求没有重边要求联通。

树：
合法当且仅当和为 $2n-2$2n−2，且每个点至少是 $1$1。
使用 prufer 序列，先提出叶子，和度数最大的点连边。维护两个集合，一个是叶子一个是非叶子。

prufer 序列：找到编号最小的叶子删掉，把邻接点放到序列里。直到剩两个点。每个点出现次数是 $d-1$d−1 次。

线性代数黑科技：
无向图的 dfs 树上给每个非树边分配一个随机整数权值，树边权值等于覆盖他的非树边权值的异或，一组边集是割集当且仅当对应权值线性相关。
割集只删掉这组边以后联通块数量增加了。线性相关指存在一个子集异或为 $0$0。
dzyloves chinese。

支配树
DAG 上的做法较简单，一个点的支配点就是入边支配点的 Lca。

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来源： https://blog.csdn.net/DT_Kang/article/details/86097368

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