欧拉函数φ(n)是1~n-1的与n互质的数的个数
欧拉函数公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*...*(1-1/pn)；这里的pi是n的所有质因数，n>0。
欧拉定理：若n为素数，φ(n)=n-1。
若n的另一个素数p的a次幂，φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)，比p^a小的数有p^a-1个，那么有p^(a-1)-1个数能被p所整除(1~p^a-1中p的倍数一共p^(a-1)-1个)。φ(p)=p^a-1-(p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)。
如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
若n为奇数，则φ(2n)=φ(n);
我们可以把欧拉函数的通式改写为:φ(n)=(n-n*p1)...(1-1/pn)，然后下面的欧拉函数的程序应该就好理解了。
int euler(int n) {
int ret = n;
for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
if(n % i == 0) {
ret -= ret / i;
while(n % i == 0) {
n /= i;
}
}
}
if(n > 1)
ret -= ret / n;
return ret;
}
第一个找到的i一定是质因数，while(n%i==0)n/=i;是完全消除i这个质因子（参考n=(p1^a1)*(p2^a2)*……*(pk^ak) (为N的分解式)，pi是质因子）。
还有素数表实现的代码：
先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存，以方便欧拉函数使用，这样，在不考虑筛选法的时间复杂度，而单纯看欧拉函数，其复杂度为O（x），x为O(√¯n）以内素数的个数。
bool boo[50000];
int p[20000];
void prim() {
boo[0] = boo[1] = 1;
int k = 0;
for(int i = 2; i < 50000; i++) {
if(!boo[i])
p[k++] = i;
for(int j = 0; j < k && i * p[j] < 50000; j++) {
boo[i * p[j]] = 1;
if(!(i % p[j]))
break;
}
}
}
int phi(int n) {
int rea = n;
for(int i = 0; p[i]*p[i] <= n; i++) //对于一些不是素数的可不遍历
if(n % p[i] == 0) {
rea = rea - rea / n;
do
n /= p[i];
while(n % p[i] == 0);
}
if(n > 1)
rea = rea - rea / n;
return rea;
}
有时候我们遇见频繁调用欧拉函数的题时，我们通常回预处理所有欧拉函数出来，用下面的递推式。
void euler() {
for(int i = 2; i < maxn; i++) {
if(!phi[i])
for(int j = i; j < maxn; j += i) {
if(!phi[j])
phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
}
}
另有一些题目中可能用的性质 转自劢臻佳境
N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2*M*eular(N)。
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
标签：phi,函数,int,boo,rea,欧拉 来源： https://blog.csdn.net/Endeavor_G/article/details/89044932
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