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数学知识1.1

2022-09-11 01:00:49  阅读:73  来源: 互联网

标签:1.1 int 质数 枚举 ai 因子 数学知识 primes


一、简述

本文章主要介绍有关质数的基础算法。

二、质数

  • 质数和合数是针对所有大于1的自然数来定义的,小于等于1的整数既不是质数也不是合数。
  • 质数的因子只有1和它本身。

三、质数的判定——试除法

设一个数 n,因为质数的因子只有1和它本身,我们可以使用枚举从2 ~ n-1的方式,判断其中的数是否为 n 的因子,若存在 n 的因子,则不是质数,否则是质数。这样算法的时间复杂度是 O(n)

bool isPrime(int x)
{
    if(x <= 1) return false;
    for(int i = 2; i < x; i ++)
        if(x % i == 0) return false;
    return true;
}

不过,如果对于一个数 n,若存在 d | n(d 整除 n),则 \(\frac{d}{n}\) | n,基于此,我们可以对上面的算法进行优化,使得时间复杂度降到 O(\(\sqrt{n}\))

bool isPrime(int x)
{
    if(x <= 1) return false;
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
        if(x % i == 0) return false;
    return true;
}

模板题AcWing866.试除法判定质数

题目描述

给定 n 个正整数 ai,判定每个数是否是质数。

输入格式

第一行包含整数 n
接下来 n 行,每行包含一个正整数 ai

输出格式

n 行,其中第 i 行输出第 i 个正整数 ai 是否为质数,是则输出Yes,否则输出No

数据范围

1≤ n ≤100,1≤ ai ≤231−1。

输入样例
2
2
6
输出样例
Yes
No
解题思路

试除法。

C++代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;

int n;

bool isPrime(int x)
{
    if(x <= 1) return false;
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
        if(x % i == 0) return false;
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        if(isPrime(x)) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}

四、分解质因数——试除法

  • 任何一个大于1的自然数 ,如果 N 不为质数,都可以唯一分解成有限个质数的乘积。
    N = \(P{^{a^1}_1}\)\(P{^{a^2}_2}\)\(P{^{a^3}_3}\)⋅⋅⋅\(P{^{a^n}_n}\),这里 P1 < P2 < ⋅⋅⋅ < Pn 且均为质数,其指数均是正整数。
  • 一个数 N 最多只有一个因子大于 \(\sqrt{N}\)(证明:反证法。假设有两个,则两个的乘积大于 N)。
  • 试除法的时间复杂度为 O(\(\sqrt{n}\));最好时间复杂度为 O(logn),所有因子均为2。
void divide(int x)
{
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            int s = 0;//统计质因子个数
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                s ++;
            }
            printf("%d %d\n", i, s);
        }
    }
    if(x > 1) printf("%d 1\n", x);
    printf("\n");
}

对于 x 的任意一个合数因子假设为 y,在枚举到它之前就已经将它从 x 中除去,因为 y 的质因子必是 x 的质因子,而这些质因子早已被枚举并除掉了。当枚举到某一个数 i 的时候,x的因子里面已经不包含[2,i−1]里面的数。

模板题AcWing867.分解质因数

题目描述

给定 n 个正整数 ai,将每个数分解质因数,并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 n
接下来 n 行,每行包含一个正整数 ai

输出格式

对于每个正整数 ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后,每个质因数的底数和指数,每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后,输出一个空行。

数据范围

1≤ n ≤100,2≤ ai ≤2×109

输入样例
2
6
8
输出样例
2 1
3 1

2 3

解题思路

试除法。

C++代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

void divide(int x)
{
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                s ++;
            }
            printf("%d %d\n", i, s);
        }
    }
    if(x > 1) printf("%d 1\n", x);
    printf("\n");
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        divide(x);
    }
    return 0;
}

五、质数筛

朴素筛

  • 举例:比如我们要筛出1~16里的所有质数。
    初始数据:2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    • 枚举2的倍数,则4、6、8、10、12、14、16被筛掉。
      剩余数据:2 3 5 7 9 11 13 15
    • 枚举3的倍数,则6、9、12、15被筛掉。
      剩余数据:2 3 5 7 11 13
    • 以此类推,最后剩余的数据2、3、5、7、11、13都是质数。因为我们枚举到 i 时,2到 i-1中一定不含 i 的因子,否则它早就被筛掉了。
  • 时间复杂度分析:枚举2的倍数 O(\(\frac{n}{2}\)),枚举3的倍数 O(\(\frac{n}{3}\)),...,枚举 n 的倍数 O(1)。调和级数 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n=lnn + c(c 是欧拉常数,约等于0.577)。而 lnn < logn,故时间复杂度为 O(nlogn)
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(st[i]) continue;//筛掉了
        primes[cnt ++] = i;
        for(int j = i + i; j <= n; j += i)//枚举倍数
            st[j] = true;
    }
}

埃氏筛

观察上述的朴素筛,我们可以发现,我们在枚举是,有许多数被重复筛掉了,因此我们希望只将质数的倍数筛掉即可。

  • 质数定理:1~n 中有 \(\frac{n}{lnn}\) 个质数。
  • 时间复杂度 O(nlog(logn))
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])//质数
        {
            primes[cnt ++] = i;
            for(int j = i + i; j <= n; j += i)
                st[j] = true;
        }
    }
}

线性筛

  • 核心思路:每个数都只会被它的最小质因子筛掉。
  • 1~n 之间的任何一个合数一定会被筛掉,而且筛的时候只用最小质因子来筛,然后每一个数都只有一个最小质因子,因此每个数都只会被筛一次,因此线性筛法是线性的。
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
  • 关于 i % primes[j]
    • i % primes[j] == 0,则说明 primes[j] 一定是 i 的最小质因子( j 是从0开始枚举的),则 primes[j] 一定是 primes[j] * i 的最小质因子。
    • i % primes[j] != 0,则说明 primes[j] 一定小于 i 的所有质因子,primes[j] 一定是 primes[j] * i 的最小质因子。

模板题AcWing868.筛质数

题目描述

给定一个正整数 n,请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式

共一行,包含整数 n

输出格式

共一行,包含一个整数,表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围

1≤n≤106

输入样例
8
输出样例
4
C++代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;

int n;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

/*朴素筛
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(st[i]) continue;
        primes[cnt ++] = i;
        for(int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}
*/

/*埃氏筛
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = i;
            for(int j = i + i; j <= n; j += i)
                st[j] = true;
        }
    }
}
*/

//线性筛
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    get_primes(n);
    printf("%d", cnt);
    return 0;
}

标签:1.1,int,质数,枚举,ai,因子,数学知识,primes
来源: https://www.cnblogs.com/Cocoicobird/p/16683316.html

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